Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Л-------------------В ома Ш4 содержит утверждение, ка-
сающееся конгруентности углов. Аксиома Ш5 связывает между собой понятия о конгруентности отрез-v'' Yv ков и углов. Аксиомы Ш4 и Ш5 со-
\\ держат утверждения относительно
jf---------------&В" элементов геометрии на плоскости
и поэтому могут быть названы пло-Черт. 12. скостными аксиомами группы III.
Однозначность откладывания отрезков вытекает из единственности откладывания углов и получается с помощью аксиомы Ш6. Предположим, что отрезок АВ может быть отложен на луче, исходящем из точки А', двояким образом, именно до. точки В' и до точки В" [черт. 12]. Рассмотрим в таком
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 71
случае точку С, лежащую вне прямой А'В'. Мы имеем конгруенцни:
А'В' = А'В", А’СвеА'С, ЗгВ'Л'С'е^ЗСВМ'С'.
Поэтому, в силу аксиомы 1115,
З'А’С'В’Еа&А'С'В”,
что противоречит аксиоме 1П4, требующей однозначности откладывания угла.
§ 6. Следствия из аксиом конгруентности
Определение. Если у двух углов, имеющих общую вершину и общую сторону, необщие стороны составляют одну прямую, то эти углы называются смежными. Если у двух углов, имеющих общую вершину, стороны попарно составляют прямые линии, то такие углы называются вертикальными. Угол, конгруентный своему смежному, называется прямым.
Докажем ряд следующих теорем.
Теорема 11. В треугольнике с двумя конгруентными сторонами углы, противолежащие этим сторонам, конгруентны, илн, короче: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Эта теорема следует из аксиомы 1116 и последней части аксиомы 1114 [Я1].
Определение. Треугольник ABC называется кон-груентным треугольнику А’В'С, если конгруентности
АВ = А'В', АС~А'С\ ВС=вВ'С',
$:А = $:А’, ^в~^в’, §;Сее§;с'
выполняются одновременно.
Теорема 12 (первая теорема о конгруентности треугольников). Треугольник ABC конгруен-теи треугольнику А'В'С, если имеют место конгруентности
АВ = А'В', АС = А'С', ^А = ^СА'.
72
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Доказательство. Согласно аксиоме ШБ, должны выполняться конгруентности:
^В~^В', С = С';
поэтому нам остаётся только доказать, что стороны ВС и В'С конгруентны друг другу. Предположим противное, именно, положим, что ВС не конгруентно В'С’, и определим на В'С' точку D' [черт. 13] так, чтобы ВС = B'D'. Тогда, применив аксиому 1И6 к треугольникам ABC и A'B'D’, мы найдём, что ВАС= В A'D'. Таким образом, получается, что угол ВАС конгруентен как углу 2?B'A'D', так и углу <?.В'А'С'-, это, однако, невозможно, так как согласно аксиоме 1Н4 любой угол в данной плоскости может быть одним единственным способом построен при данном луче по данную его сторону. Таким образом, доказано, что треугольник ABC конгруентен треугольнику А’В’С'.
Так же легко доказывается следующая теорема.
Теорема 13 (вторая теоремао конгруентности треугольников). Треугольник ABC конгруентен треугольнику А’В’С', если имеют место конгруентности
АВ==А’В', = [г2].
Теорема 14. Если угол ABC конгруентен другому углу ЗС А'В'С', то угол |с CBD, смежный с первым из них, конгруентен ZfcC'B'D', смежному со вторым.
Доказательство. Выберем точки A',C',D' иа сторонах углов, исходящих из точки B’f так, чтобы имели
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ <3
место конгруентности [черт. 14]:
АВ = А'В', СВ = С'В', DB = D'B'.
Из теоремы 12 следует в таком случае, что треугольник
ABC конгруентен треугольнику А'В'С\ т. е. что имеют место конгруентности:
АС==А’С, ВАС = 2С В'А’С’.
А так как, в силу аксиомы 1118, отрезок AD конгруентен отрезку A'D', то из той же теоремы 12 следует, что треугольник CAD конгруентен треугольнику С'A'D', т. е. что справедливы конгруентности:
CD-sCD', ЗС ADC==$: A'D'С'.
Рассматривая треугольники BCD и В'C'D', мы можем теперь, в силу аксиомы 1115, написать:
<?CBD = ЗСС'5'D'.
Как непосредственное следствие теоремы 14, мы получаем теорему о конгруентности вертикальных углов.
Далее из этой же теоремы следует с у щ е с т в о в а н и е прямых углов (см. стр. 71). Действительно, если от точки О построить при луче О А по обе его стороны один и тот же угол и на проведённых лучах отложить от точки О конгруентные отрезки ОВ = ОС [черт. 15], то отрезок ВС пересечет прямую ОА в некоторой точке D. Если при
74
ГЛ. Т. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
этом точка D совпадёт с точкой О, то углы ВО А и ¦§С СОА будут равными смежными углами, а поэтому и прямыми углами. Если точка D лежит на луче ОА, то, согласно построению, 2?D0B=2?D0C; если же D лежит на другом луче, то указанная конгруентность следует из
Черт. 15.
теоремы 14. Согласно аксиоме Ш2, каждый отрезок кон* груентен самому себе, OD — OD, а потому, в силу аксиомы Ш5, ЗС ODB = ЗС О DC [23].
