Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Основной теоремой, играющей большую роль уже у Евклида, является _ теорема о внешнем угле; из неё вытекает ряд важных следствий.
Определение. Принадлежащие треугольнику ABC углы ABC, ВС А и САВ называются углами этого
треугольника; углы, смежные $тим углам, называются внешними углами треугольника.
Теорема 22 (Теорема о внешнем угле). Внешний угол треугольника больше каждого из двух не смежных с ним углов [этого] треугольника.
Доказательство. Пусть угол CAD является внешним углом треугольника ABC [черт. 23]. Выберем точку D так, чтобы AD=CB.
Докажем сначала, что С АО АСВ. Если бы
CAD = АСВ, то, вследствие конгруентности АС = С А
и в силу аксиомы ШБ мы бы имели: 2?ACD=<?CAB. В таком случае из теорем 14 и 19 следовало бы, что
ACD конгруентен углу, смежному с <С АСВ. Тогда, согласно аксиоме Ш4, точка D должна была бы лежать на прямой СВ, что противоречит аксиоме 12. Итак
^CAD^^ACB.
Не может также быть, чтобы ZfcCAD <^-§С АСВ; действительно [черт. 24], если бы §; CAD был меньше АСВ, то откладывание внешнего угла 5CCAD в точке С при
® Д. Гильберт
/1
Черт. 23;
82
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП. АКСИОМ
луче СА в ту сторону, в которой лежит В, дало бы луч, проходящий внутри угла АСВ; этот луч должен был бы
пересечь отрезок АВ [см. стр.. 68] в некоторой точке В'. В таком случае в треугольнике АВ С внешний угол CAD с был, бы конгруентен углу
<?ЛС5', что, однако, как /==^\SV это было показано выше, не-
. \ .возможно. Таким образом,
р I/jJ"... ' д остаётся одна только воз-
можцость $: CAD > ^АСВ.
/ Точно так же получается,
Ч»;рт. 24. что угол, вертикальный углу
CAD [черт. 24], больше угла §; ABC, а вследствие конгруентности вертикальных углов и транзитивности сравнения величин углов,
•5С CAD>> §; ABC.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Важными следствиями теоремы о внешнем угле являются следующие теоремы:
Теорема 23. В каждом треугольнике t против большего угла лежит-большая сторона.
Доказательство. Отложим меньшую из двух рассматриваемых сторон треугольника от общей вершины на
С
Черт. 25.
большей стороне [черт. 25]. Заключение .теоремы следует в таком случае из теорем Ии 22, так как сравнение величин углов обладает транзитивным свойством.
Теорема 24. Треугольник с двумя равными углами должен быть равнобедренным.
§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ
83
Это обращение теоремы 11 является непосредственным следствием теоремы 23.
Из теоремы 22 легко получается дополнение ко второй теореме о конгруентности:
Теорема 25. Два треугольника ABC и А' В'С' конгруентны друг другу, если
АВ = А'В\ &А = $:А', §;С = §СС'[М].
Т е о р е м а 26. Любой отрезок можно разделить пополам.
Доказательство. Отложим при отрезке АВ около его концов углы, конгруентные а и расположенные по разные стороны этого отрезка. На свободных сторонах этих углов отложим конгруентные отрезки: AC = BD. Так как точки С и О лежат по разные стороны АВ, то отрезок CD пересекает прямую АВ в некоторой точке Е [черт. 26].
Предположение, что точка Е совпадает с точкой А илн
В, противоречит теореме 22. Если предположить, что В ле-
Черт. 26.
жит между А и Е [черт. 26, справа], то, в силу теоремы 22, §; ABD < §; BED < §; ВАС,
а это противоречит построению. Точно так же получается противоречие, если предположить, что точка А лежит между ВиЕ.
Таким образом, в силу теоремы 4, точка Е лежит иа отрезке АВ. В таком случае углы АЕС и S^BED, как вертикальные, конгруентны.
6*
84
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Итак, к треугольникам ЛЕС и BED применима теорема 25, которая даёт:
АЕ — ЕВ.
Непосредственным следствием теорем 11 и 26 является следующий факт: каждый угол можно разделить пополам.
Понятие конгруентности можно распространить на любые фигуры.
Определение. Если точки А, В, С, D,...,K,L, лежащие на прямой а, и точки А', В', С', ?>',..., К', L', лежащие на прямой а', образуют такие два точечных ряда, что все соответствующие отрезки АВ и А'В', АС и А'С', ВС и В'С',..., KL и К И конгруентны друг другу, то эти два ряда точек называют конгруентными друг другу; точки А и А', В и В',.. ., L и I! называют при этом соответствующими точками конгруентных точечных рядов.
Теорема 27. Если из двух конгруентных точечных рядов А, В,..., К, L и А', В',..., К'\L' первый упорядочен так, что точка В лежит между А с одной стороны и С, D,..., К, L с другой, точка С — между А, В с одной стороны и D,..., К, L с другой и т. д., то точки А’, В’, ..., К1, L’ должны быть упорядочены таким же образом, т. е. В' должно лежать между А’ с одной стороны и C',D',..., К1, L' с другой, С' — между А', В' с одной, D',..., К',L' с другой и т. д. [81].
