Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим для примера простой линейный случай, допускающий точное решение: процесс Орнштейна — Уленбека для одной переменной, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением
dx = — кх dt + е dW(t),
(6.1.1)
228 Глава 6
которому соответствует уравнение Фоккера — Планка
д,р = дх(кх р) + {егдгхр. (6.1.2)
Решения этих уравнений уже рассматривались в разд. 3.8.4 и 4.4.4. Здесь е является малым параметром, который в детерминистическом пределе обращается в нуль. Для двух вышеприведенных уравнений, однако, предел е — 0 оказывается существенно различным.
Когда е -> 0, стохастическое дифференциальное уравнение (6.1.1) перестает быть стохастическим, но сохраняет первый порядок относительно t, поэтому переход к пределу е — 0 не порождает сингулярности. Напротив, в пределе е — 0 уравнение (6.1.2) превращается из дифференциального уравнения второго порядка в уравнение первого порядка. Таким образом, при переходе к пределу возникает особенность, и всякая теория возмущений должна это учитывать.
Для уравнения (6.1.1) существует точное решение (см. (4.4.26))
xe(t) = се~к‘ + ? j e~kU~'ndW(t'), (6.1.3)
о
которое можно записать в виде
xe(t) = x0(t) + ?*[(?) , (6.1.4)
т. е. решение представимо в виде разложения по степеням малого параметра е. Кроме того, член нулевого порядка х0(/) есть решение уравнения при е = 0, т. е. уравнения
dx = — kx dt. (6.1.5)
В случае с уравнением Фоккера — Планка (6.1.2) ситуация далеко не так проста. В предположении, что с является нестохастической переменной, точное решение является гауссовским распределением, среднее значение и дисперсия которого даются выражениями
<*(/)> = a(t) = с е-*' (6.1.6)
D {*(,)} = е2т = ?2(1 - е~2к,)/2к, (6.1.7)
так что
1 1
I с, 0) = 7-7_ехр
1 [х - a(t )}
е2 Ж1)
В пределе е — 0 решение для условной вероятности имеет вид
(6.1.8)
ре(х, 11 с, 0) ^ 5[х — ог(0],
(6.1.9)
Приближенные методы для диффузионных процессов 229
что в точности соответствует решению первого порядка для СДУ, которое представляет собой детерминированную кривую вдоль траектории х(О = с ехр(-к/)- ОднакорЕ не удается разложить в простой степенной ряд относительно е: для того чтобы осуществить разложение в степенной ряд, необходимо в каждый момент времени определить масштабную переменную
y = [x-a(t)\lE (6.1.10)
и тогда плотность вероятности для у принимает вид
ре(у, *|0, 0) = рс(х, t\c,Q)~ (6.1.11)
1 Гу2
71Щпехр Г 2/1ч)
(6.1.12)
Для масштабной переменной у плотность вероятности не имеет сингулярности, на самом деле мы избавляемся и от зависимости от е. Преобразование (6.1.10) можно переписать в виде
х = a(t) + ?)' (6.1.13)
и истолковать следующим образом. Из (6.1.12) видно, что распределение у является нормальным с нулевым средним значением, а его дисперсия есть 13(0- Смысл выражения (6.1.13) сводится к тому, что отклонение х от детерминированной траектории a(t) имеет порядок е при е — 0, а коэффициентом служит гауссовская случайная переменная у. Этот результат, по сути, эквивалентен выводу, к которому мы пришли с использованием метода СДУ.
Полученные результаты можно представить в следующем общем виде. Пусть система описывается СДУ
dx = a(x)dt + eb(x) dW(t). (6.1.14)
Тогда решение может быть записано в форме
= xa{t) + ?.v,(0 + s2x1(t) + ... , (6.1.15)
позволяющей искать последовательные приближения xn{t). В частности, x0(t) является решением детерминистического уравнения
dx = a(x)dt . (6.1.16)
Наоборот, мы можем рассматривать уравнение Фоккера — Планка
<Э,р = — 3*[а(:ф] 4- ?е23^[Ь(л-)2/>]
(6.1.17)
230 Глава 6
В таком случае, переходя к масштабной переменной и получая таким образом
У = [* — Xo(t )]/? (6.1.18)
Ре( V, 0 = [р(х, 11 С, 0)]/? , (6.1.19)
мы можем записать разложение по возмущениям
РЛУ, <) = Ро(У, 0 + <) + ?2РгЬ\ t) + • (6.1.20)
Здесь мы обнаружим, что р0(у, t) является истинной плотностью ве-
роятности (положительной и нормированной), в то время как члены высших порядков могут на каких-то участках принимать и отрицательные значения. Можно утверждать, следовательно, что теория возмущений для уравнения Фоккера — Планка не является вероятностной. В противоположность этому для стохастического дифференциального уравнения решение разлагается в ряд по случайным переменным xn(t), каждая из которых имеет собственное распределение вероятности, так что система является вероятностной на каждом уровне.
