Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 86

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 185 >> Следующая


s —0 т—О

Поскольку, однако, мы принимаем детерминированное начальное условие, и x0(t) поэтому детерминировано, все члены cx0(O обращаются в нуль. В силу этого

D {*(/)} = е2 D {*,(0} + 2г3<*,(/), *г(0>

+ е4[2<*,(/), *,(/)> + D {*,(/)} ] + ... (6.2.31)
236 Глава 6

и аналогично

<*(/), *(»> = е2(х,((), xt(s)) + ?3[<*i(0> *гС*)> + <*lC*)> ^z(O)] + ?4[<*i(0, *s(s)> + <x,(s), x3(t)) + (x2(t), x2(s)>] + ... .

(6.2.32)

6.2.4. СЛОЖНОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ МАЛОГО ШУМА

а) Пример: процесс третьего порядка

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

dx = —x*dt + е dW(t).

(6.2.33)

Нетрудно видеть, что условия разложения (6.2.20) тривиально удовлетворяются для коэффициентов при dt и dW(t), и для всякого конечного t асимптотическое разложение, члены которого x^(t) определяются выражением (6.2.16), имеет смысл. При л: = 0, однако,

а поскольку х = 0 есть стационарное решение детерминистического уравнения, разложения по возмущениям для стационарных решений едва ли будут сходиться, так как все экспоненциальные временные множители являются константами. Например, член первого порядка в стационарном разложении, согласно (6.2.27), имеет вид

и расходится с вероятностью, равной единице, будучи гауссовской переменной с бесконечной дисперсией.

Проблема довольно очевидна. Вблизи х = 0 движение, описываемое уравнением (6.2.33), не может аппроксимироваться процессом Орнштейна — Уленбека. Например, стационарное распределение вероятности, которое является стационарным решением уравнения Фоккера — Планка

(6.2.34)

t

*»(,) = J dw(f) = W(t) - w(-оо)

(6.2.35)

3,p = dJr(x3p) + iе?д*р ,

(6.2.36)

имеет вид

p,(x) = Ж exp (-х*12ег),

(6.2.37)
Приближенные методы для диффузионных процессов 237

а соответствующие моменты даются выражениями

<*"> = (2е*Г* Г fL±J) /Г ({) (п четное) (6 2 3g)

= 0 (п нечетное).

Член низшего порядка в разложении для дисперсии пропорционален ? в первой степени, а не в квадрате, как в (6.2.31).

В таком случае мы должны рассматривать процесс третьего порядка, описываемый (6.2.33) как принципиально новый процесс. Если мы введем новые масштабные переменные

х = -/ёу (6.2.39)

t — т/е

и используем равенство

с/Щт/е) = dW(z)l*/7, (6.2.40)

то процесс третьего порядка можно привести к нецараметрическому виду

dy = -y>dx + dW(x) . (6.2.41)

Считая решение (6.2.41) известным, можно записать

х(0 = y(Et), (6.2.42)

так что предел ? — 0 достигается со скоростью V?, а также и с более медленной временной зависимостью. Этот результат, полученный благодаря переходу к новому масштабу («скейлингу»), лежит в основе многих критических явлений.

Успешное применение теории возмущений в случае, когда а(х) вблизи х = 0 пропорционально х3, должно, во-первых, включать переход к новым переменным типа (6.2.39), а во-вторых, основываться на теории возмущений, подобной описанной выше, но в которой в качестве нулевого приближения выступает процесс третьего порядка. Допустим, таким образом, что мы можем записать

а(х) = — х3с(х), (6.2.43)

где с (х) есть гладкая функция ис(0) Ф 0. Тогда, используя преобразования (6.2.39, 40), мы переписываем СДУ в виде

fdy = — v3c(v^/e)di + b(y^/~e)d\V(z). (6.2.44)
238 Глава 6

Разлагая у (О. с(у4ё), b(yyfe) в ряд по Ve, получаем результат теории возмущений. Если записать

КО = S ?",2л(0 , (6.2.45)

71 = 0

то для первых двух членов разложения получим

dy0 = — ylc(Q)dr + b(0)dW(r) (6.2.46)

Г db

dy, = -ypylc(0) + yld?(0)

dz +

dx

(Ob

dW(t) . (6.2.47)

Мы видим, что уравнение для j*, представляет собой по существу уравнение, описывающее зависящий от времени процесс Орнштейна — Уленбека в случае стохастических коэффициентов. Таким образом, в принципе если вид процесса третьего порядка известен, то все остальное рассчитать нетрудно. На практике, однако, сведений о кубических процессах не так много, поэтому изложенные результаты теории возмущений имеют ограниченную полезность.

б) Процессы нечетного порядка

Если стохастическое дифференциальное уравнение имеет вид

dx = —x'dt + е dW(t), (6.2.48)

то устойчивое детерминированное решение существует только для нечетных V. В таком случае мы переходим к новым масштабным переменным

.V = УЕгп'^ (6.2.49)
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed