Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ci(f)‘
Сз( О
с начальным условием с,(0) = </>,
сз(0) = </>, .
(6.3.43)
(6.3.44)
Величину <>”4>s можно рассчитать, продлив цепочку моментов (6.3.10) до Мq; находим
м*- 1
М° ~ 2 ~ах ^ 12 ’
и тогда < г4> = 1/12.
Таким образом, получаем уравнение
(6.3.45)
1/6 -
1/12
«,«! + агиг ,
(6.3.46)
246 Глава 6
решениями которого являются
а, = 24 (1 + V 1 — ?2)/VI — ?2
(6.3.47)
«2 = =$4 (— I + V1 — с2)/л/1 — ?2 •
Корреляционная функция с точностью до второго порядка по е имеет вид
(многие члены уничтожаются). Заметим, что собственные значения X, и \2 зависят от е2. Всякая попытка разрешить систему (6.3.40) с помощью теории возмущений потребует разложения exp(Xjf) и ехр(Х20 по степеням е2 и будет включать члены типа /Лехр( — 2/), что не даст адекватного описания долговременного хода автокорреляционной функции.
Корреляционная функция для х имеет вид
6.3.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для произвольного уравнения Фоккера — Планка
можно построить асимптотическое разложение для стационарного решения, положив
(6.3.48)
<x(t)x(0))s = ?2С,(Г),
(6.3.49)
а спектр дается выражением
S(co) = ?2 J dt е ia,Ci(t)/2n
(6.3.50)
12 к Ц + о/ '
(6.3.51)
д,Р = — 2 д,А,(х)р + ^?2 2 didjBtjWp ,
(6.3.52)
ps(x) = ехр [~-ф(х)1ег],
(6.3.53)
Используя это выражение, получаем
[2 ¦‘Ь(х)д1ф + ? 2 Ви(х)д,Мф] + ?2[-v BMx) - 2 ЗМФ
- \ В.д'дб + \ е1 2 ЗДЯ,/лг)] = 0 .
(6.3.54)
Приближенные методы для диффузионных процессов 247
Первый член цепочки, имеющий нулевой порядок по ?, представляет собой уравнение Гамильтона — Якоби. Основной смысл результата состоит в том, что в принципе можно получить асимптотическое разложение для ф(х):
Ф(х) = 2 е"Фп(х)} (6.3.55)
где ф0(х) удовлетворяет уравнению
2 А,(х)д,ф0 + \ 2 Ви(х)о$(1o= 0. (6.3.56)
i i, j
Грэхем и Тель [6.8, 9] недавно продемонстрировали возможность решения уравнения (6.3.56) в общем случае. Их основной результат состоит в том, что решения, будучи хотя и непрерывными, имеют в общем случае производные с бесконечным числом разрывов, за исключением некоторых частных случаев, тесно связанных с ситуацией, когда УФП удовлетворяет потенциальным условиям.
6.4. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Часто оказывается, что динамическая система описывается стохастическими уравнениями, включающими сильно разнящиеся временные масштабы; в то же время поведение системы на малых временных масштабах не представляет интереса. Наиболее естественным примером этого является броуновское движение. Здесь обычно наблюдают положение броуновской частицы, однако фундаментальные уравнения включают также и ее импульс, который не относится к наблюдаемым величинам. Таким образом, уравнение Ланжевена (1.2.14) может быть переписано для координаты и скорости в виде dx
. = v dt
(6.4.1)
т
dv
dt
= - fh + V2k/ifQ(t) ¦ (6.4.2)
Если интерпретировать эти уравнения как стохастические дифференциальные уравнения Ито, то для их решения можно воспользоваться методом, уже изложенным в разд. 4.4.6. Проще, однако, проинтегрировать сначала уравнение (6.4.2) и получить решение
v(t) = г>(0) exp (—/?//т) + Г ехр [—ft(t — t')/m]^(t’)dt'. (6.4.3)
т о
248 Г лава 6
Рассмотрим теперь ситуацию, когда коэффициент трения /3 не слишком мал, в то время как масса т мала. Тогда для t, таких, что
t !> т'/Р = т (6.4.4)
экспонента в первом члене в правой части (6.4.3) пренебрежимо мала, и нижний предел интегрирования можно отодвинуть в — оо, не внося существенной ошибки. Получим
v{t) j ехр [-(t - . (6.4.5)
m
Будем называть т временем релаксации, поскольку эта величина определяет для (6.4.5) временной масштаб релаксации.
Определим
t/(t, т) = -Г1 / ехр [-(/ - t')/T]dW(t') . (6.4.6)
Согласно разд. 4.4.4, это стационарный процесс Орнштейна — Уленбека. Корреляционная функция имеет вид
(r/(t,T)ri(t',T)) =^ехр(-|/ - f'1/т) (6.4.7)
---. b(t - О . (6.4.8)
т-0
Мы видим, что предел г — 0 соответствует пределу белого шума, когда корреляционная функция превращается в дельта-функцию.
Таким образом, (6.4.1) можно записать в виде
*•*>• ,6А9) что в пределе 7 — 0 переходит в dx jWT
a-v-j-m. (6.4.Ю)
Иначе, и гораздо более наглядно, можно представить дело так: предел /и — 0 в (6.4.2) соответствует обращению левой части в нуль, так что
(6.4.1 j)
