Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
И наконец, самое заметное различие состоит в том, что первым членом разложения для СДУ оказывается x0(t), который является решением СДУ при ? = 0 в (6.1.1). Первый же член pQfy, t) в (6.1.20) не есть решение (6.1.2) при е = 0. В общем случае он представляет собой лишь предел УФП для рс(у, t), который получают, принимая е = 0 в УФП для масштабной переменной у.
6.2. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ШУМУ ДЛЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение вида
dx = a{x)dt + Eb{x)dW(t) ( (6.2.1)
где е — малый параметр. На этом этапе для упрощения вычислений мы не учитываем зависимость а{х) и Ь{х) от времени: как используемые приемы, так и результаты от этого не меняются. Предположим также, что решение (6.2.1) x(t) может быть записано в виде
x(t) = x0(t) + ?*,(/) + Ezxz(t) + ... . (6.2.2)
Кроме того, допустим, что мы можем записать
а(х) — а(х0 + ? *i + е2х2 + ••¦) (6.2.3)
= а0(х0) + ? а,(х о, х,) + е2а2(х 0, хи х2) + .... (6.2.4)
Приближенные методы для диффузионных процессов 231
Конкретная функциональная зависимость в (6.2.4) имеет существенное значение, и ее нетрудно продемонстрировать, поскольку
а(х) = а(х0 + 2 етхт)
т = 1
= ±У-^(±^Хту. (6.2.5)
р—0 р • C*Xq т= 1
Формальное суммирование этого выражения представляет сложную задачу, однако можно без труда вычислить первые несколько степеней ? и получить
а0(х0) = а(х0)
da(x0)
а,(х0, хг)
а( х х х\- х da(Xo) 4- — х* d2a(Xo) (6‘2'6)
о’ *1’ Xl) ~ Хг dx о + 2Xl dxl
а(х х х х \ - х da(Xo) + хх dla{Xa) + —х3 d3a(Xo)
а3(хо, х„ хг, х3) - х3 ^ + 6х, ^ .
Общий вид для всех членов в явной форме записать трудно, но можно заметить, что для п ^ 1
а„(х0, хи ... х„) - + Л„(*о, *1, - *<¦-.), (6-2-7>
где Ап не зависит от х. На самом деле, непосредственно из (6.2.5) можно увидеть, что коэффициент при е" может включать хп лишь в том случае, если хп попадает туда из члена р — 1; в остальном же еп образуется из членов с т < п, в которые хп не входит.
Представление ап в виде (6.2.7) имеет важное значение. Ясно, что если мы также потребуем, чтобы
Ъ(Х) = Ь0(*о) + ? ЬАх0, *,) + ЕгЬ2(х0; х„ дг2) + , (6-2.8)
то все рассуждения, проведенные для ап, остаются в силе. Для разложения по возмущениям это, однако, не столь важно.
Подставим теперь разложения (6.2.2, 7, 8) в стохастическое дифференциальное уравнение (6.2.1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. В результате мы получим бесконечную систему стохастических дифференциальных уравнений. Для упрощения записи воспользуемся обозначением
к(х0) = - d-^ . (6.2.9)
dxn
232 Глава 6
Получим
dx0 = a(x0)dt , (6.2.10а)
dx„= [—к(х0)х„ + Ап(х0, ... x„_i)]dt + bn_,(.v0, ... xK_x)dW{t). (6.2.106)
Эти уравнения можно теперь решать последовательно. Уравнение (6.2.10а) является обыкновенным дифференциальным уравнением (возможно, нелинейным), на которое наложено некоторое начальное условие и решение которого предполагается известным. Можно, конечно, наложить независимые нетривиальные начальные условия на все х , но это неоправданно усложняет дело. Проще всего допустить, что
¦*о(0) = -х(О)
(6.2.11)
*»(0) = 0 n > 1 ,
принимая за начальный момент t — 0.
В предположении, что решением (6.2.9) является
xa(t) = a(t) , (6.2.12)
уравнение (6.2.10а) для n = 1 записывается в виде
dxs = —k[a(t)]xxdt + b[a(t)]dW{t) ,
(6.2.13)
(здесь, как следует из (6.2.5), А0 обращается в нуль, а Ь0 = Ь).
Это уравнение, первое в теории возмущений, описывает зависящий от времени процесс Орнштейна — Уленбека. Его решение можно получить непосредственно, используя методы разд. 4.4.9, сведенные к случаю одной переменной. Решение получается путем умножения на интегрирующий множитель
exp { / dt'k[a(t')]}
О
и имеет вид
*,(/) = J b[a(t’)\ exp {— J k[a(s)ds)dW{t') , (6.2.14)
0 tf
где уже учтено начальное условие .г ДО) = 0.
Во многих случаях это приближение вполне адекватно и сводится к линеаризации исходного уравнения относительно детерминированного решения. Члены высших порядков не так просты, поскольку (6.2.106) имеет более сложный вид, однако подход, в сущности, остается прежним. Для того чтобы решить уравнение для хN(t), мы предполагаем известными всехД?) для n < N, так что после подстановки этих ре-
Приближенные методы для диффузионных процессов 233
шений Ап и Ьп_1 становятся известными случайными функциями времени. Тогда (6.2.106) принимает вид
