Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
t = Tgzci-vve+v) (6.2.50)
и далее действуем так же, как и в случае процесса третьего порядка.
в) Бистабильные системы
Пусть система описывается уравнением
dx = (х - x3)dt -Г Е dW(t), (6.2.51)
которому соответствуют три детерминированных стационарных состояния: х = 0, ± 1. Состояние при х = 0 неустойчиво и, как сразу следует из теории возмущений, не порождает стационарного стохастического процесса, поскольку экспоненты в интегралах разложения по возмущениям (6.2.27, 28) содержат возрастающие аргументы.
Приближенные методы для диффузионных процессов 239
Решения х0(() детерминистического дифференциального уравнения
распадаются на три класса в зависимости от поведения при t — оо, а именно
1) Х0(0 < 0 => *о(?) — —1
2) х0(0) = 0 => х0(г) = о ДЛЯ всех t
3) x0(t) > 0 ^ x0(t) —> 1 .
Таким образом, в зависимости от начального условия мы получаем два различных асимптотических разложения, стационарные пределы которых описывают флуктуации около одного из двух устойчивых детерминированных состояний. Эти решения не содержат информации о возможном скачке с ветви х = 1 на ветвь х = -1 или наобо-
рот — по крайней мере, в сколько-нибудь явном виде. В этом смысле асимптотическое разложение подводит нас, так как не дает общей картины поведения системы в стационарном состоянии. Как мы увидим в гл. 9, причина этого кроется в том, что асимптотическое поведение, характерное для скачков с одной ветви на другую, имеет обычно порядок ехр(— 1/е2) и стремится к нулю при е — О быстрее любой степени е, так что его невозможно аппроксимировать степенным рядом.
6.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО МАЛОМУ ШУМУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Как уже упоминалось в разд. 6.1, разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка является сингулярным и требует введения масштабных переменных. Здесь мы обсудим эту задачу более подробно.
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка
Пусть решением детерминистического уравнения является a(f)> так что
dxjdt = х — х3
(6.2.52)
д,р = -дх[А{х)р\ + ?fi2aj[5(x>] .
(6.3.1)
d,a(0 = ЛМО].
Введем новые переменные O', 5)
у = [х — ce(t)]/e
s=t,
(6.3.2)
(6.3.3)
(6.3.4)
а также
Р(у, s) = г р(х, О .
(6.3.5)
240 Г лава 6
Заметим, что
а йг„ -дРдУ _>дР ds —d(t)dp dp
д’р(у’ ")-^э7 + э7э7=“ — э^ + aJ (6-3-6>
dxp(y,s) = -j^, (6.3.7)
так что, подставляя в (6.3.1) и учитывая уравнение движения для а (?) (6.3.2), получаем
др__д_ \A[a(s) + еу] — A[a(s)]
ds
ду I
-L?L
2 dv2
{В[а(5) + еу]р} .
(6.3.8)
Теперь мы можем осуществить разложение по степеням е. Допустим, что разложение для А и В по степеням ? имеют вид
A[a(s) + ?}'] = ? An(s)s"y"
п = 0
B[a(s) + sy] = ? 5„(Ф"Г
n—0
и разложим р по степеням е: ? = ? •
(6.3.9)
(6.3.10)
(6.3.11)
Подставляя эти разложения в УФП (6.3.8) и приравнивая коэффициенты, получаем
т*--л‘Кш + тв‘(гф
(6.3.12)
- - ^[A,(s)yp, 4- - у [S0(.y)pi + 5,(.?)^0] (6.3.13)
и вообще
dp,
ds
d_
dy
’Eyr-m+1Ar_m+,(s)p„
2 dy2 IS/'
(6.3.14)
Только уравнение для p0 есть уравнение Фоккера — Планка и, как говорилось в разд. 6.1, только р0 есть вероятность. Первое уравнение в иерархии, (6.3.12), является зависящим от времени процессом Орнштейна — Уленбека, который в точности соответствует первому уравнению в иерархии стохастических дифференциальных уравнений (6.2.13). Но на этом соответствие и исчерпывается.
Приближенные методы для диффузионных процессов 241
Установление граничных условий для рг представляет технические трудности, поскольку переход от х к у зависит от времени, так что граница, неподвижная для переменной х, оказывается для у движущейся границей. Кроме того, граница при х = а соответствует границе при
которая при ? — 0 стремится к ±оо. Судя по всему, методы, позволяющие справиться с граничными условиями подобного рода, еще не разработаны, за исключением случая а = ±°°, когда граница для у тоже оказывается в бесконечности и поэтому неподвижна. Тогда граничные условия для у принимают такой же вид, как и для х.
В случае когда границы находятся в бесконечности, в результате преобразования (6.3.3) сингулярная задача о возмущениях (6.3.1) (в которой при ? — 0 понижается порядок уравнения) превращается в нормальную задачу теории возмущений (6.3.8), где коэффициенты уравнения являются гладкими функциями ? и при ? — 0 мы имеем дело с уравнением второго порядка. Применимость описанного разложения будет зависеть от вида коэффициентов.
6.3.1. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
Хотя иерархия уравнений (6.3.14) не слишком удобна, она определяет довольно естественный способ вычисления моментов с помощью теории возмущений. Предположим, что границы находятся на ±°°, так что мы можем интегрировать по частям, отбрасывая поверхностные члены. Определим
