Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, используя (6.3.12—14) и интегрируя по частям, легко получаем выражение
[а — g(s)]
(6.3.15)
?
<М0]"> = Це'ШО ¦
(6.3.16)
г = О
Тогда, очевидно,
M"(t) = | dy у"рА V. t).
(6.3.17)
которое описывает замкнутую цепочку уравнений, поскольку уравнение для Mnr(t) может быть решено, если известны все M^fJ) для т<гир<п+г.
242 Г лава 6
Выпишем первые несколько средних значений M'(t) и средних квадратов М;(/):
<!МЖ\= AAtWKt) (6.3.19)
</U/;'") = I- Az(t)Ml(t) (6.3.20)
c/Xf4t) ~
/ = AJtWXt) -f A2{t)M\(t)+ A3(t)Ml(t) (6.3.21)
dMM = 2i,(/)A/5(/) -f- ВД (6.3.22)
(/; = 2 A,{t)M\(,) 4- 2^,(Г)Л/2(Г) + WW) (6.3.23)
dM3(t'I
= 3AAtWKt) + 3B0(t)Ml(t) . (6.3.24)
При выведении двух последних равенств мы учитываем, что
J dypr(y,t)t (6.3.25)
и, используя
J dyp( v, О = 1-2 егЛ*?(0 , (6.3.26)
находим, что
М°(,) = 1 (6.3.27)
Л/?(/) = 0 г Ф 1 . (6.3.28)
Уравнения представляют собой линейные обыкновенные дифференциальные уравнения, неоднородные члены в которых вычисляются из предшествующих уравнений цепочки.
а) Стационарные моменты
Стационарные моменты получают, устремляя / - оо и принимая левую часть (6.3.18) равной нулю. (Все коэффициенты А, В и т. п. считаются не зависящими от времени.)
Приближенные методы для диффузионных процессов 243
Из (6.3.19—22) находим
М'0( оо) = О
М1( оо) = —\Bajh
М30( оо) = О
м }(оо) = —A2M%(oo)/Ai = j АЛКА,)2
(6.3.29)
М\(оо) = —A2Ml(oc)IAt = О
Д/*(оо) = ~[12Л/Коо) + I3A/J(oo)]/i. = 0 .
Таким образом, стационарное среднее значение и дисперсия имеют вид
<*>„ = а + ?[A/J(oo) + гЛ/](оо) + е2М'2(оо)\
= а + %e2A2B0/(A1)2 } (6.3.30)
D {.*} s = <x2>s - <Х>2
= ((а + гу)2>5 — (а + ф1 = ?2 D {у} s е2 ~ ~
= ~~2 Ba/Ai с точностью до е1. (6.3.31)
Ясно, что эту процедуру можно продолжить до произвольно высоких порядков. Разумеется, для системы с одной переменной стационарное распределение можно найти в явном виде и определить моменты непосредственным интегрированием. Однако в случае многих переменных это не всегда возможно, в то время как описанный метод, распространенный на случай многих переменных, всегда дает результаты
6) Стационарная автокорреляционная функция
В стационарном случае автокорреляционная функция для х связана с таковой для у простым соотношением
и цепочка уравнений для (y(t)y (0)> выводится легко. Заметим, что
<*(/)•*( 0)>s = п2- + ?2< y(t)y(0))s
(6.3.32)
d_
dt
<y(t)ny( 0)>s = <[
A[a + cr(Q] ~ Л(а) иу(,y-i
+ in(n - 1 )B[a + ej(/)]>’(0"“2 №>. •
(6.3.33)
Это легко доказать, используя УФП (6.3.1) для р(у, t\y0, t0) и интегрируя по частям или же применяя формулу Ито к соответствующему СДУ.
244 Глава 6
Пользуясь определением Лг, Вг (6.3.9, 10) и разлагая А и В в степенной ряд, получаем
Эти уравнения сами по себе образуют цепочку, которая легко разрешается в виде степенного ряда относительно е. Наибольший интерес обычно представляет величина <>¦ (^ )>¦ (0)>s, которая может быть вычислена до порядка еч, если известны < у (/ fy (0)s> для р ^ q + 1. Начальным условием является
а стационарные моменты могут быть получены из стационарного распределения или методом, изложенным выше.
6.3.2. ПРИМЕР
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка
<v(O".K0)>s = s ?4«л,+,0’(/Г\у( 0)>8
at 9=0
+ n(ET--Bq{y{t)q+n-1yms ¦
(6.3.34)
<Х0)"Я0)>3 = <у+1>5,
(6.3.35)
(6.3.36)
для которого имеем (в стационарном состоянии a(t) = 0):
А, = -1
Я2 = 0
А3 = -1
А, = 0 (д > 3)
(6.3.37)
Вд 3^J.O
а =0.
Используя (6.3.30, 31), получаем
<*>s = о
D{*}s = е21 6 .
Для удобства воспользуемся обозначениями
(6.3.38)
c„(t) = <>'"(0>'(0)Х,
(6.3.39)
Приближенные методы для диффузионных процессов 245
в которых уравнения для с, и с3 принимают вид
’ dc,' -1 ---?2 Cl
~di
1 1 -3 с3
(6.3.40)
(уравнения для с2п и с2п + 1 распадаются, так как В(х) константа, а А (х) является нечетной функцией х).
Систему (6.3.40) проще решать в явном виде, чем с помощью теории возмущений. Собственные значения матрицы суть
Я, = -2 + VI - е2 h = —2 —л/Г — ?2 ,
а соответствующие собственные векторы —
1 + N 1 Г.1
1
(6.3.41)
(6.3.42)
= а,е х,'и, + а2е Хг’иг
(t> 0)
Теперь решение для (6.3.40) можно записать в виде
