Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Иначе говоря, мы считаем, что вектор х можно представить в виде
* = (в, х),
(5.3.121)
208 Глава 5
где а включает наблюдаемые макроскопические величины, а х — все остальные. Тогда практически нас интересует распределение
Я«1 > <2; «з, •¦•)
= JJ ... J dxu йхг ... р(хх, tx;x2> t2\х3, t3; ...).
3» *3 ) ¦
(5.3.122)
С точки зрения микроскопической обратимости из вышеприведенных рассуждений следует, что р, а стало быть, и /?, подчиняются условиям детального баланса, но р, естественно, не подчиняется уравнению Лиувилля. Если же можно показать, что р в том или ином приближении подчиняется марковскому уравнению движения, то мы должны сохранить условие детального баланса, которое для р имеет тот же вид, что и для р. В этом смысле можно сказать, что условия детального баланса (5.3.43) вытекают из микроскопической обратимости законов движения.
в) Процесс Орнштейна — Уленбека: соотношения Онсагера для линейных систем
Большинство систем, удовлетворяющих условию детального баланса, можно приближенно описывать процессом Орнштейна — Уленбека. При этом предполагается, что
Условия детального баланса, однако, не тривиальны: они имеют вид
Качественный вид равенства (5.3.125) указывает на то, что функция ps(х) является гауссовым распределением, поскольку производная от ее логарифма линейна относительно х. К тому же, поскольку левая часть не содержит аддитивной константы, среднее значение, соответствующее этому распределению, должно быть равно нулю, так что
л,О) = ? Лл-
(5.3.123)
в,;(х) = В„ .
(5.3.124)
(5.3.125)
и
?<?jB,j = BtJ .
(5.3.126)
р3(х) = .Жехр (— { хТ<т ]х)
(5.3.127)
Уравнение Фоккера — Планка 209
Теперь можно подставить (5.2.127) в стационарное уравнение Фоккера — Планка и после некоторых преобразований получить
-"2 Ан ~ \ 2 Bijau' + 2(2 17к'Aij + \ 2 ак11ВцЯц1)Хкх]' = 0 (5.3.128)
» LJ fcj i i,l
(здесь мы использовали симметричность матрицы а). Квадратичный член обращается в нуль, если симметричная часть матрицы его коэффициентов равна нулю. Это условие можно записать в матричной форме:
а~1А + Лт<т~1 = -а-'Во~1 (5.3.129)
или
Аа + аАт=-В. (5.3.130)
Если (5.3.129) удовлетворяется, то постоянный член также обращается в нуль. Равенство (5.3.130), очевидно, совпадает с равенством, выведенным с помощью СДУ в разд. 4.4.6 (уравнение (4.4.51)) с точностью до замены
А-------А (5.3.131)
ввт — В .
Теперь мы можем записать условия детального баланса в наиболее элегантной форме. Определим матрицу е как
е = diag(c„e2, ?3, ...); (5.3.132)
очевидно,
в*=1. (5.3.133)
Тогда в матричном виде условия (5.3.125, 126) записываются как еЛе + А = —Ва~1 (5.3.134)
еВе = В. (5.3.135)
Потенциальное условие (5.3.83) равнозначно утверждению о симметричности матрицы а.
Как указано в разд. 5.3.4 (см. (5.3.49)), для детального баланса необходимо, чтобы
8<7 = сге. (5.3.136)
С учетом всего этого возьмем (5.3.130)
Аа + аАт = — В
210 Глава 5
и из (5.3.134) еАео 4- -4а = —В получим еАео = <7ЛТ.
Далее отсюда и из (5.3.136) будем иметь е(Ла) = (Ла)те.
(5.3.137)
(5.3.138)
(5.3.139)
Это есть не что иное, как знаменитые соотношения Онсагера [5.11, 12]. В нашем выводе мы следовали в основном работе ван Кампена
[5.6].
Интерпретировать эти соотношения будет проще, если ввести феноменологические силы, определив их как градиент потенциала Ф = lnU7s(jf)]:
F(x) = —Уф(х) = а 1х
(5.3.140)
(в физике ф/kT есть энтропия системы). Благодаря линейности А{(х) (см. (5.3.123)) точные уравнения движения для <дг) имеют вид
dt
<х> = А{х) = AaF((x)).
(5.3.141)
Таким образом, если потоки (fl/dt)(x) линейно связаны с силами F«x)) через матрицу L, определяемую как
L - Аа,
то из (5.3.139) следует tLt = U, или
Ltl = Lji t ?' и ?j имеют одинаковые знаки Ltj = —Ljit ?j и ?j имеют разные знаки.
Заметим также, что из ti36 = В и
еае = а
(5.3.142)
(5.3.143)
(5.3.144)
(5.3.145)
Уравнение Фоккера-- Планка 211
следует, что В- и at] обращаются в нуль, если ?, и Ej имеют различные знаки.
В частном случае, когда все е, имеют один и тот же знак, получаем
и, принимая во внимание, что а симметрична и положительно определена, а значит, имеет действительный квадратный корень, находим, что
симметрична, так что Л подобна сил**»*" — матрице. Отсюда следует, что все собственные значения А являются действительными.
