Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
г) Частный случай соотношений Онсагера. Флуктуационно-
диссипационная теорема
Соотношения Онсагера записываются для наблюдаемых макроскопических величин и поэтому легко поддаются проверке следствием детального баланса, который в свою очередь является следствием обратимости микроскопических уравнений движения, как указано в п. «б» настоящего раздела. Однако для проверки применимости соотношений Онсагера в конкретной ситуации необходимо знать единовременную корреляционную матрицу а.
К счастью, в подобных случаях статистическая механика дает нам вид стационарного распределения, если только мы имеем дело с термодинамически равновесной ситуацией, когда принцип детального баланса неизменно выполняется. Основная идея здесь аналогична той, которой воспользовался Ланжевен (разд. 1.2.2). Проиллюстрируем это на примере вывода формулы Найквиста.
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 5.4), в которой существуют флуктуации напряжения (как следствие того, что система находится не при нулевой температуре) и флуктуации заряда, которые возникают благодаря тому, что система подключена к нейтральному в целом резервуару заряда (например, к банке с ионным раствором). Уравнение для тока следует из закона сохранения электрического заряда q и
(5.3.146)
А = о-112Ао1П
rs 3.147)
L R
¦ЛЛЯЛГ'—vwv—
Рис. 5.4. Электрическая цепь, использованная Для вывода формулы Найквиста.
212 Глава 5
закона Кирхгофа. Уравнение для заряда записывается в виде dq dt
i —yq + ДД/).
(5.3.148)
Здесь мы приравниваем скорость изменения заряда на конденсаторе току в цепи i минус утечка уq в резервуар плюс флуктуационный член Д/(/), который возникает вследствие наличия резервуара; величина последнего будет сейчас рассчитана.
Применяя закон Кирхгофа, суммируем падения напряжения по всему контуру, включая возможные флуктуации напряжения ДК(г):
Iа dt
- iR + ДК(0 .
(5.3.149)
Будем считать, что Д/(0 и ЛУ(/) представляют собой белый шум. В самом общем случае мы можем записать
Д/(0 = &11<п(0 + bl2?2(t)
1
L
AV(t) = Ь2,Ш + ь22ш
(5.3.150)
(5.3.151)
где ?,(0 и ?2(/) суть некоррелированные ланжевеновские силы, т. е. ?,(/)* = */^,(0 (5.3.152)
?2(t)dt = d\V2(t) (5.3.153)
{W^t) и W2{t) — независимые винеровские процессы).
Таким образом, здесь
У
LC
-1
R
L
Полная энергия системы такова;
L .
1
(5.3.154)
(5.3.155)
2 ' ' 2С
Из статистической механики мы знаем, что Ps(q, i) определяется распределением Больцмана при температуре Т, т. е.
Ps(q, 0 = ЛГехр(- Е/кТ)
Li2 ~2
2кТ 2СкТ1 ’
(5.3.156)
Уравнение Фоккера — Планка 213
где к жит
кТС
О
постоянная Больцмана; тогда корреляционной матрицей слу-
(5.3.157)
О
kTjL
Теперь проверим симметрию Онсагера:
’укТС -kTjL' kTjL RkT/L2
Аа =
(5.3.158)
Для этой системы полный заряд q является четной переменной, а ток / — нечетной. Таким образом,
diag (1, - I),
(5.3.159)
и очевидно, что единственным следствием указанной симметрии является равенство
(Лег),
(Аа)2
и в силу (5.3.158) оно справедливо. Имеем также
В = — (Аа + аАт) = 2кТ
и поэтому 6(2 = Ьг s = О bu = V2кТуС Ьъг - у/lkTRjL .
ус
О
о
R/L2
(5.3.160)
(5.3.161)
(5.3.162)
(5.3.163)
Мы видим, что, как и следует из интуитивных физических соображений, йр = fi2| = 0; действительно, эти два источника флуктуаций, ?|(0 и ?2(0, обусловлены различными причинами и поэтому должны быть независимы друг от друга.
Полученные результаты составляют марковскую флуктуационно-диссипационную теорему. Величины b,j, характеризующие интенсивность флуктуаций, определяются диссипативными параметрами у и
Результат (5.3.163) является не чем иным, как теоремой Найквиста, которую мы обсуждали в разд. 1.4.4. Флуктуационное напряжение 8 цепи дается выражением
лк(0 = ^2kTR 6(0,
(5.3.164)
214 Глава 5
так что
<Л V(t + т)ДК(/)> = 2кТЯЗ(т). (5.3.165)
Это и есть теорема Найквиста в форме (1.4.51).
Параметры у и R называются диссипативными, поскольку ими обусловлены диссипации энергии. Для детерминистического случая (т. е. полагая шум равным нулю), получаем равенство
(5.3.166)
