Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 81

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 185 >> Следующая


так что

G(jc, 0) = 1 xeR

— 0 вне Л; (5.4.6)

б) в силу (5.4.1)

G(х, 0 = 0 х е S. (5.4.7)

Как и в разд. 5.2.7, эти начальные условия означают, что среднее время выхода из области R для частицы, находящейся в точке х, которое мы обозначим через Т(х), удовлетворяет уравнению

? А<(х)д,Т(х) + 2 Е Ва(х)д,д,Т(х) = -1 (5.4.8)

i U

с граничным условием

Т(х) = 0 д;eS, (5.4.9)

а его моменты

Тп(х) = <Г"> = f r-'G(x, 0Л (5.4.10)

о

удовлетворяют рекуррентному равенству

- п Тп_,{х) = Е А?х)д,ТАх) + Е В0(х)д&Т„(х) (5.4.11)

' ‘j с граничными условиями

Т„(х) = 0 ieS. (5.4.12)

Включение отражающих границ. Может случиться, что S, граница R, распадается на участки Sr и Sa, так что при встрече с Sr частица отражается, а при встрече с Sa поглощается. Тогда граничные условия для
Уравнение Фоккера — Планка 221

G(x, t), вытекающие из результатов разд. 5.2.4, имеют вид

2 ntBtj(x)djG(x, 0 = 0 (дг Sr) (5.4.13)

i,j

G(x, 0 = 0 (х <= S,) (5.4.14)

и, следовательно,

2 n,Bt](x)djTn(x) = 0 (х е ST) (5.4.15)

i,j

Тп(х) = 0 (I6SJ. (5.4.16)

5.4.1. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ДОСТИЖЕНИЕМ ГРАНИЦ

Основное дифференциальное уравнение в частных производных для среднего времени достижения границы легко решается лишь в одномерном случае, а также тогда, когда удается воспользоваться симметрией задачи. Мощным инструментом оказываются асимптотические методы, о которых мы поговорим в гл. 9.

Здесь же мы лишь проиллюстрируем применение некоторых методов на примерах.

а) Процесс Орнштейна — Уленбека в двух измерениях при наличии вращательной симметрии

Пусть частица движется по закону

dx = —kx dt + */Ъ dW,(t) (5 4 17)

dy = —ky dt + л/7) dlVz(t) .

Нас интересует среднее время выхода из

х2 + .V2 < а2 V-' ! ’8)

для частицы с начальными координатами (х0, >*0).

Эта задача легко сводится к одномерному случаю для переменной

r = Vx2 + уг , (5.4.19)

в которой уравнения движения принимают вид (ср. разд. 4.4.5) dr = {-kr + ? D/r)dt + -Л5dW(t) , (5.4.20)

а интересующая нас область превращается в интервал (0, а). Такую
222 Глава 5

задачу легко решить, используя (5.2.165) с заменами Щх) — \kr2 — \D log г

D — \D

х0 — а

а —¦ Vxl + у\ = г0

— оо —> 0 .

(5.4.21)

Таким образом,

-р J у 1 ехр[ky2/D]dy j" z exp(—kz2/D)dz .

(5.4.22)

Поставленная нами задача оказалась по своей сути одномерной. Это, впрочем, довольно редкий случай.

б) Использование собственных функций

Допустим, мы воспользовались собственными функциями Рх(jc) и Qx(х) и разложили среднее время выхода за пределы области в виде

Т(х) = ? txQx(x).

(5А23)

Мы считаем, что Рх(х) и Qx(x) удовлетворяют граничным условиям для конкретной рассматриваемой задачи, так что Т(х) в виде (5.4.23) также удовлетворяет соответствующим граничным условиям.

Далее, разложим

-1 = Е/лбяЮ,

X

где

h = ~ J dx Рх(х).

R

Подставляя (5.4.23) в (5.4.8), получаем

Xtx = — h >

откуда

T{x) = ^\Qx(<x')\dxPi{x').

(5.4.24)

(5.4.25)

(5.4.26)

(5.4.27)

Успех применения этого метода зависит от знания собственных значений, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям на S и нормированных в R.
Уравнение Фоккера — Планка 223

в) Асимптотический метод

Если наименьшее собственное значение X, много меньше остальных, то приближенное значение суммы ряда может описываться первым членом разложения. Это означает, что собственная функция Ql аппроксимирует решение уравнения

где К — константа. С учетом взаимйой биортогональности Рх и Qx мы можем записать

Приводимые здесь рассуждения не слишком строги. Более серьезное обоснование будет дано в гл. 9.

г) Метод собственных функций

Двумерное броуновское движение: частица движется на плоскости (х, у) внутри квадрата, углы которого имеют координаты (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Стороны квадрата представляют собой поглощающие границы; Т(х, у) описывается уравнением

Собственными функциями, удовлетворяющими граничному условию Т — 0 на границах квадрата, являются

где п, m — целые положительные числа. Собственные значения определяются как
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed