Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
2 А,(х)д,Пх) + 4-2 Я„(х)Э(Э,/(х) = 0 .
I i. /
(5.4.28)
Следовательно,
(5.4.29)
1 = / dx Л(х)0,(х) ~K\dx Л(х),
(5.4.30)
так что
Дх)~ 1/А,.
(5.4.31)
(5.4.32)
PUx, J') = sin(rtTtx) sin(mHx)
(5.4.33)
Qn.mix, у) = 4 sin(«Kx) sin(wKx),
(5.4.34)
A„,m = ^r(«2 + m2),
(5.4.35)
224 Глава 5
а
J dx dy Р„,т(х, у) = 0 , когда п или т четное
R
4
=------ , когда пят нечетные,
тпп
Отсюда
1 32
Т(х, ^) = -Е -I------т—^rsin(/2rtx) sin(mny) .
D tin2 nm(m2 + n*)
odd
5.4.2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ВЫХОДА
Эта задача — многомерный аналог задачи, рассмотренной в разд. 5.2.8: какова вероятность выхода частицы через окрестность dS(a) точки а границы S. Пусть вся граница является поглощающей (рис. 5.5).
Вероятность того, что частица выйдет на участке dS(a) до момента Г, равна
g(a, х, t) | dS(a) | = - j dt'J(a, /' | x, 0) ¦ dS{d) . (5.4.38)
0
Рассуждения, аналогичные проведенным в разд. 5.2.8, показывают, что g(a, х, t) подчиняется обратному уравнению Фоккера — Планка
2 A,(x)d,g(a, х, t) + | 2 Bij{x)didjg{a, x, t) = dtg(a, x, t) . (5.4.39)
* Л j
(5.4.36)
(5.4.37)
Puc. 5.5. Область и поверхность, рассматриваемые в разд. 5.4.2.
Уравнение Фоккера — Планка 225
Граничные условия следуют по определению. В начальный момент g(a, х, 0) = 0 при х Ф а, х <= R (5.4.40)
и во все моменты времени
g(a, х, t) = 0 при х Ф а, х е S . (5.4.41)
Если х = а, то частица обязательно покинет область на участке dS(a), поэтому
g(a, а, О dS(a) = 1 для всех t, (5.4.42)
или
g(a, х, t) = 5s(a — х) х е S, для всех t, (5.4.43)
где 8s(a — дг) есть поверхностная дельта-функция, такая, что
JI dS(a) 15s(a — х) = 1 . (5.4.44)
Окончательная вероятность выхода через dS(a) равна
п(а, х) j dS(a) | = g(a, х, оо) | dS(a) |, (5.4.45)
а среднее время выхода за пределы области, при условии что частица выходит в точке а, равно
Т(а, х) = — J dt g(a, х, t)/n(a, х). (5.4.46)
о
Аналогично тому как это сделано в разд. 5.2.8, мы можем показать, что Т(а, дг) удовлетворяет уравнению
S Л,(х)о,[л(а, х)Т(а, х)] + J ? 5у(х)Э,Зу[л(а, х)Т(а, х)] = -п(а, х)
(5.4.47)
с граничными условиями
п(о, х)Т(а, х) = 0, ХЁ^. (5.4.48)
Затем, устремляя t — оо в соответствующем уравнении Фоккера — Планка для g(a, х, t), получаем уравнение для тг(а, дг):
? А,(х)3,[л(а, х)] + i ? В,/х)Э(ЭДл(в, х)] = 0 .
и
(5.4.49)
226 Г лава 5
Граничным условием для (5.4.49) служит
п(а, х) = 0 а Ф х, х е S, (5.4.50)
а также
J|dS(«)| *(«,*)= 1 . (5.4.51)
Это же можно записать в виде
п(а, х) — 8„(а — х) х е S, (5.4.52)
где 65(а — дг) есть поверхностная дельта-функция для границы S.
6
Приближенные методы для диффузионных процессов
Методы, описанные в предыдущих двух главах, ориентировались на получение точных результатов, и это, естественно, ограничивало их практическую полезность. Основу большинства приложений составляют приближенные методы, в которых всегда изыскивается способ сведения задачи к разрешимому виду. Можно даже сказать, что все приложения так или иначе связаны с поиском подходящих приближений.
Особое значение имеют два приближенных метода. Первый из них — это метод разложения по малому шуму, при котором рассматриваются решения, линеаризованные по отношению к детерминистическому уравнению. Поскольку шум часто оказывается на практике малым, этот метод находит широкое применение. Уравнения здесь сводятся к последовательности процессов Орнштейна — Уленбека, зависящих от времени, по большей части рассматривается первое приближение.
Второй большой класс приближенных методов основан на адиабатическом приближении, в котором выделяются различные временные масштабы, и быстрые переменные полностью исключаются. Эти методы будут рассматриваться во второй части настоящей главы.
6.1. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА МАЛОСТИ ШУМА
Во многих физических и химических задачах стохастичность в динамической системе возникает из-за тепловых флуктуаций, которые всегда весьма малы. Их существование удается заметить лишь с помощью скрупулезных измерений. В этих случаях временная эволюция системы является, по сути, детерминированной, а флуктуации представляют собой лишь малые возмущения.
