Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
и его решение находится либо непосредственно, либо, согласно сказанному в разд. 4.4.9, как
Формальная сторона дела на этом исчерпывается. Остается, однако, установить границы применимости метода и возможность его практического применения. Как и во всякой теории возмущений, с повышением порядка члены быстро выходят из-под контроля.
6.2.1 ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ
В общем случае разложение не является сходящимся степенным рядом. Действительно, согласно (6.2.14), хДО» будучи просто интегралом Ито с нестохастическими коэффициентами, есть гауссовская переменная и поэтому может с конечной вероятностью оказаться больше любого фиксированного значения. Следовательно, описанный метод даст сходящийся ряд лишь в том случае, когда все степенные ряды, входящие в (6.2.5), будут сходиться для всех значений аргументов, в том числе и сколь угодно больших.
Мы можем показать, что разложение является асимптотическим, используя результаты разд. 4.3.7 относительно зависимости от параметра.
Определим остаток через
где xr(t) суть решения системы стохастических дифференциальных уравнений (6.2.10) с начальными условиями (6.2.11).
Выведем теперь уравнение для yn(t). Мы можем записать
dxN = { — k[a(t)\xN + AN(t)}dt + bN^(t)dW(t),
(6.2.15)
t t
xNU) = J [AN(t')dt' + bN^(t')dW(t')] exp {— J /г[а(^)]Л}.
(6.2.16)
0
V„(c, t) = [*(?) - 2 ?rA'r(/)]/?"+! ,
(6.2.17)
a[x{t)] - a[ 2 srxr(t) + )<„(?, /)?"+l]
(6.2.18)
и определить функцию
л
-Цега,(Хо, *i,- •
(6.2.19)
234 Глава 6
Потребуем, чтобы для всех фиксированных Х0, Хх, . . . , XN, Y существовал предел
lim a„+i[X0, ... Х„, Y, е] . (6.2.20)
в-0
Аналогичным образом определим 6п[Х№ Хи . . . , Хп, У, е] и наложим на эту функцию такое же условие.
Это условие не является вероятностным: оно лишь выражает определенные аналитические свойства функций а(х) и Ь(х); по сути, требуется, чтобы разложения (6.2.4, 8) были просто асимптотическими разложениями.
Теперь мы можем записать дифференциальное уравнение для у „(с, t) в виде
dy„ = а„+][х0 (0, *i(0> ¦¦¦ xn{t),yn, ?] dt
+ b„[xa{t), xx{t\ ... x„_x{t\y„, e] dW{t). (6.2.21)
Коэффициенты при dt и dW{t) теперь являются случайными функциями, поскольку функции xr(t) случайны. Выполнение требования (6.2.20), однако, обеспечено почти наверное, что гарантирует существование пределов по вероятности
st-lim й„+1[а'0(0, *i(0. x„{t), у„, ?] = a„+l(t, у„) (6.2.22)
е-0
И
st-lim ?„+1[а-0(0, Xi(t), ... x„^(t), у„, е] = b„(t,yn). (6.2.23)
?-0
Этого достаточно, чтобы удовлетворить требование разд. 4.3.7 о непрерывности решений СДУ (6.2.21) относительно параметра е, если при этом удовлетворяются также соответствующие условия 2 и 3 разд. 4.3.7. Таким образом, ^„(0, t) существует как решение СДУ:
dy„{0, /) = йл+![г, у„{0, О] + 6m[t, yJO, t)\dW{t). (6.2.24)
Согласно определению (6.2.17), это означает, что
x{t)— ? Erxr(t) ~ ?"+1 . (6.2.25)
r=0
Отсюда следует, что разложение по степеням е является асимптотическим разложением.
6.2.2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ (ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ)
Стационарное решение получают, устремляя t — со. Если процесс, как указано, однородный и эргодический, характер начального условия не играет роли. В таком случае выбирают х0(0) так, чтобы а [х0(0)] = 0,
Приближенные методы для диффузионных процессов 235
и решением (6.2.10а) является
*о(0 = *о(0) = а (6.2.26)
(где мы пишем просто а вместо а (О)-
В силу выбранного начального условия при t = 0 решение (6.2.14) уравнения первого порядка не является стационарным процессом. Следует либо устремлять t — оо, либо накладывать начальное условие не при t = 0, а при t — — оо. Выбирая последнее, мы имеем
x\(t) = j Ь(а) ехр [-(/ - t')k(a)ldW{t'). (6.2.27)
Аналогично
*1(0 = ! [AKt'W + bU{t')dW{t')] ехр [-(/ - /'Же)] , (6.2.28)
где под А * и bsn_l мы понимаем значения Ап и bn_v получаемые при подстановке стационарных значений всех аргументов. Из (6.2.28) ясно, что по построению решение xsn(t) стационарно. Очевидно, что интегралы в (6.2.27, 28) сходятся лишь при к (а) > 0. Это означает, что только устойчивое стационарное решение детерминированного процесса порождает этим методом стационарное решение стохастического уравнения. Это вполне естественно: при наложении флуктуаций на неустойчивое состояние система выйдет из этого состояния.
6.2.3. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ, ДИСПЕРСИЯ И ВРЕМЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
Если разложение в ряд по ? в каком-то смысле справедливо, то полезно также знать разложения для среднего значения и дисперсии. Очевидно,
<*(0> = 2 е"<*.(0> <6-2-29)
п — 0
D {*(0} = 22 <Х.('К-т(0> - <Х(0><Х-»(0>] • (6-2.30)
