Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(4.4.19)
В пределе t, s — оо, где t + t = s,
lim<z(? + t)z(O) = 0 .
(4.4.20)
<z(?)z*(j)> = <|z(0)|2><exp{ia>(f — j) + W2y[W(t) — H^j)]}) = < | z(0) 12>exp {ioj(t — s) — y[t + s — 2min(?, j)]}
= <|z(0)|2>exp[i«(? - j) — y\t - j|] .
(4.4.21)
148 Глава 4
Эта модель комплексного осциллятора не позволяет, как показал ван Кампен [4.5], описывать реальный осциллятор. Однако она вполне пригодна для того, чтобы качественно представить себе поведение осцилляторов с шумящей частотой.
4.4.4. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА
На основании уравнения Фоккера — Планка для процесса Орнштейна — Уленбека (разд. 3.8.4) мы можем сразу же записать СДУ, воспользовавшись результатом разд. 4.3.4:
dx= -kxdt + VD dW(t), (4.4.22)
и решить его непосредственно. Заменяя
у = * е
kt
(4.4.23)
получаем
dy = (dx)d(ek') + (dx)ek’ + xd(ek‘)
= [—kxdt -f л/DdW(t)\k ek'dt + [—kx dt + vT) dW{t)]e*' + kx ek,dt. (4.4.24)
Первое произведение обращается в нуль, поскольку в него входят
только dt1 и dW(t)dt (можно показать, что так будет всегда, когда
мы умножаем * на детерминированную функцию времени). Тогда
dy = ekcdfV(t). (4.4.25)
Интегрируя и возвращаясь к переменной х, получаем
x(t) = х(0)е-*' + VD \ z-kU-,ndW{t'). (4.4.26)
Если начальное условие представляет собой нормально распределенную или детерминированную функцию, тох(?) является, очевидно, гауссовской, среднее значение и дисперсия которой даются выражениями
<*(/)> = <х(0)>е-*' (4.4.27)
D {*(/)} = < (МО) - <л(0)>]е-*' + VD { e-k(t-t0dfV(/')} 2> • (4.4.28)
Расчеты методом Ито и СДУ 149
Считая начальное условие неупреждающим, т. е. не зависящим от dW(t) для t > 0, мы можем записать, используя результат разд. 4.2.6е,
DWO} = D {ДО)} е-2*' + Dje-2kU~‘ndt'
О
= {[var {х(0)} - D!2k}e~2k! + D/2k . (4.4.29)
Эти равенства совпадают с теми, что были получены в разд. 3.8.4 путем непосредственного решения уравнения Фоккера — Планка и, кроме того, они обобщены на случай неупреждающего случайного начального условия. В дополнение к тому факту, что решение представляет собой гауссовскую переменную, мы также получили верную условную вероятность.
Временную корреляционную функцию также можно вычислить непосредственно; она имеет вид
<*(/), -Ф)> = D {х(0)}е-*('+1> + ?></ е-м'-")й/И/(г') / e-Ml-*'W(/)>
О О
min (t, s)
= D {x(0)}e^(,+i) + D j
Заметим, что если к > 0, то при t, s — со при конечной разности I/ — 5-1 корреляционная функция становится стационарной и принимает вид, приведенный в разд. 3.8.4.
Действительно, если за начальный момент принять не 0, а — оо, то решение (4.4.26) принимает вид
x{t) - VD / с-ки-'Ч\У(1') , (4.4.31)
где корреляционная функция и среднее значение, очевидно, принимают свои стационарные значения. Поскольку процесс гауссовский, он стационарен.
4.4.5. ПЕРЕХОД ОТ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ К ПОЛЯРНЫМ
Для описания оптического поля нередко используется модель, представляющая собой пару процессов Орнштейна — Уленбека, один из которых представляет действительную, а другой — мнимую компо-
(4.4.30)
150 Глава 4
ненту электрического поля:
dEi(t) = — yEx(t)dt + е dWi(t)
dEz(t) = — yE2(t) dt + ? d\Vz{t) . (4.4.32)
Нас интересует переход к полярным координатам. Положим ?,(0 = a(?)cos ф{г)
E2(t) = a(t)sin ф(() (4.4.33)
и для простоты определим также
/;(?) = log a{t)} (4.4.34)
так что
fi(t) + \ф{0 = log [Ei(t) + i?2(01 • (4.4.35)
Пользуясь методом Ито, получаем
</(?, + i?2) 1 [d(E, + i?2)]2
d(M + «*) - ,, . i/;- - 2 (/;• • i/•;,)-'
_ _ •/(?, + iE^d e[dWx(t) + \dW2(t)]
?, + i E2 + (E, + i E2)
i F}[dw,u) + i d\v2(tW .. .
"2 (?, + i?2)2 (4-4'-b)
Поскольку dW^(t)dW2(t) = 0, dWx{t)2 = dW2(t)2 = dt, последний член
обращается в нуль, и
dWt) + itff)] = —yd/ + гехр [-/Д?) - i#r)] [dWx(t) + i d\V2(t)}. (4.4.37)
Возьмем теперь действительную часть, подставим a(t) = ехр[^(/“)] и, пользуясь методом Ито, найдем
da(t) — { — ya(t) -I- \s2ja(t)}dr + e{dfVt(i)cos0(t) + dlV2(t)sin $/)]}. (4.4.38) Мнимая часть дает нам
