Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
<,dVt{t)dVj{t)> = ? S„(t)Sjm(t)<dWl(t)dWm(t)'>
I, т
= ? StMSjMdt = 8„dt, (4.3.24)
I
поскольку S(t) ортогональна. Следовательно, все моменты не зависят от S(t) и являются теми же самыми, что и моменты dfV(t). Поэтому dV(t) гауссовская и имеет ту же корреляционную матрицу, что и dW(t). Наконец, средние значения в различные моменты времени могут быть представлены в виде произведения; например, при t > t’ в
? ({dWi(t)St/(t)r[dWk(t')Skt{t')}''') (4.3.25)
i, к
мы можем вынести средние значения различных степеней dW:{t), поскольку dW,(t) не зависит От всех прочих членов. Оценивая их, мы находим, что благодаря ортогональности S{t) усреднение по dW^t) дает просто
? {[dWt(t)ry{[dWk(t’)Skl(t’)\'y) (4.3.26)
к ’
откуда аналогично получаем {[dWj(О]"'[dWt(t' )]">. Следовательно, dV(t) также являются приращениями винеровского процесса. Ортогональное преобразование просто перемешивает различные реализации процесса, не меняя его стохастический характер.
Отсюда следует, что вместо (4.3.21) мы можем записать
dx = А(х, t)dt + В(х, t)ST(t)S(t)dW(t) (4.3.27)
= А(х, t)dt + В{х, t)ST{t)dV{t), (4.3.28)
а поскольку V{t) представляет собой просто винеровский процесс, это уравнение эквивалентно равенству
dx = А(х, t)dt + В{х, t)ST(t)dW(t)) (4.3.29)
Расчеты методом Ито и СДУ 139
которому соответствует в точности то же самое уравнение Фоккера — Планка (4.3.22).
Некоторые примеры, в которых этот результат играет важную роль, будут рассмотрены в разд. 4.4.6.
4.3.6. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТРАТОНОВИЧА
Стратонович [4.2] определил стохастический интеграл от выражения, являющегося функцией х(/) и t, как
S J G [х (О, t'] dW(t') = ms-lim ? G {*'{‘д + *(^,1 [Щи) ~ ^ (',-.)].
/о л — 30 /=¦ 1 I I
(4.3.30)
Отметим, что усредняется только зависимость от х(0- Если G(z, t) дифференцируема по t, интеграл не зависит от конкретного выбора значения t на интервале /,].
Стохастическое дифференциальное уравнение можно записать с использованием интеграла Стратоновича:
x(t) = x(t0) + / dt’a[x(t'), t') + 5/ dW(t')p[x(t% t'}, (4.3.31)
<0 '0
Мы покажем, что оно эквивалентно соответствующему СДУ Ито. Пусть x(t) является решением уравнения
dx(t) — a[x(l), t]dt + 6[x(f), t]dW{t) (4.3.32)
Полагая, что в обоих случаях x{t) есть одна и та же функция, вычислим коэффициенты а и /3. Вначале установим связь между
I !
S j dW(t' )/3\x{t’ ), t' ] и j dW(t’ )b[x(t’), t’ ]. Имеем 'о 'о
S\dW(t')nx{t'),t']~Y.P
x (tf) + x (/,_,)
т ,U-1
[W(tj) - (/,_ 1)]. (4.3.33)
to i
В (4.3.33) запишем x(t,) = x (/,_,) + </x (/,_,)
и воспользуемся СДУ Ито (4.3.32), чтобы записать
dx (t,) =а [х (/,_,)./,_,] {ti -/,_,) + * [х (/,_,), t,- t][lV (t.) - W(/,_,)]. (4.3.34)
140 Глава 4
Тогда, применяя формулу Ито, получим
+ - fi-1) + ' /Лг, - )1: +
(4.3.35)
(для краткости везде, где это возможно, мы пишем /3(Г;) вместо /3[х(Г,), Г(] и т. п.). Подставляя все эти выражения в исходное уравнение (4.3.32), отбрасывая, как обычно, dt2 и dt dW и полагая dW2 = dt, получаем
51 = Xfifr-i) {»Ч*,) - ^(г,_,)} ЧЕ *(/,-,)W,-i)• (4-3.36)
i /
Следовательно ,
5 J /?[*(/'), /']<ЩО = J РЫn, t']dW{t') 4- ii b[x(0, t']dj[x(t'), t']dt'.
(4.3.37)
Эта формула устанавливает связь между интегралом Ито и интегралом Стратоновича от функции 0[x{t'), t'], где x(t') есть решение СДУ Ито (4.3.31). Она не дает связи между интегралами Ито и Стратоновича от произвольных случайных функций.
Если теперь выбрать
а(х, /) = а(х, t) - Щх, t)dxb(x, t) ¦
fi(x, t) = Ъ(х, /), (4.3.38)
то мы увидим, что
СДУ Ито dx = a dt + b dW{t) (4.3.39a)
соответствует СДУ
Стратоновича dx = [а --- \bdxb\dt + b dW{t) (4.3.396)
или, наоборот, СДУ Стратоновича
dx = a dt + fi dW(t) соответствует СДУ Ито dx = [а + \fibxfi]dt + [i dW(t) .
(4.3.40а)
(4.3.406)
Расчеты методом Ито и СДУ 141
Замечания
1) Пользуясь формулой Ито (4.3.14), мы можем показать, что правило замены переменных в СДУ Стратоновича в точности такое же, как и в обычном анализе. Возьмем СДУ Стратоновича (4.3.40а) и преобразуем его в СДУ Ито (4.3.406). Перейдем к новой переменной у = /ОО, которой соответствует обратная функция х - g(y).
