Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
4.3.3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ФОРМУЛА ИТО
Рассмотрим произвольную функцию x(t): /[v, (/)]• Какому стохастическому дифференциальному уравнению она подчиняется? Воспользуемся результатами разд. 4.2.5 и разложим df\x(_t)\ в ряд с учетом второго порядка по dW(t):
df[x(t)] =f[x(t) + dx(t)] - /МО]
= f'[x(t)]dx(t) + \f"[x(t)]dx(t)2 + ...
= /'[*(/)] {«MO, t]dt + b[x(t), t]d\V(t)}
+ \ГЫФШ, tf[dW{t)f + ....
Все остальные члены здесь отброшены, поскольку они имеют порядок выше второго. Воспользуемся теперь тем, что [dW(t)\2 = dt, и получим
df[x(t)\ = {fl[x(/), t)f'[x(t)} + \b[x(t), tff'{x{t)}} dt
(4.3.14)
* + b[x(t), t]f'[x(t)]dW(t).
136 Глава 4
Этот результат известен под названием формулы Ито. Как видно, замена переменных производится не по обычным правилам анализа, если только /[*(/)] не является просто линейной функцией x(t). Функции многих переменных. На практике формула Ито в случае многих переменных становится очень сложной. Простейший путь состоит в том, чтобы применить распространенный на случай многих переменных результат, согласно которому dW{t) есть бесконечно малая величина порядка (dt)]/1. Аналогично тому как это было сделано в разд. 4.2.5, мы можем показать, что для /7-мерного винеровского процесса W(t)
dWt{t)dWj{t) = S„dt (4.3.15а)
[dWit)]N+1 = 0 (N > 0) (4.3.156)
dW,(t)dt = 0 (4.3.15в)
dtl+M = 0 (yV > 0), (4.3.15r)
откуда следует, что dWt(t) есть бесконечно малая величина порядка (dt)l/1. Заметим, однако, что (4.3.15а) является следствием независимости dW^t) и dWj(t). Для того чтобы распространить формулу Ито на функции л-мерного вектора x(t), удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению
dx = А(х, t)dt + В(х, t)d fV(t), (4.3.16)
мы просто следуем этой процедуре и приходим к следующему результату:
df(x) = {V At(x, t)d,f(x) -!- 2 XI Ш(х, t)BT(x, t)]tjdfijf(x)} dt
(4.3.17)
? Bt](x, t)d,f(x)dWj(t).
4.3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ УРАВНЕНИЕМ ФОККЕРА — ПЛАНКА И СТОХАСТИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ
Рассмотрим теперь временной ход произвольной функции /[х(/)]. Пользуясь формулой Ито, получим
(dfixmidt = = jt </м>
= <flW0, t]3xf+ hb[x{t), tfdify.
(4.3.18)
Расчеты методом Ито и СДУ 137
Однако х(() имеет плотность условной вероятности р(х, flx0, г0) и ^ </W0]> = J- dxf(x)drp(x, 11 x0, to)
= J- dx[a{x, t)dxf + \b{x, tfd2xf]p(x, ?|x0, t0). (4.3.19)
Это выражение имеет вид, аналогичный (3.4.16). При тех же условиях, что и в разд. 3.4.1, мы интегрируем по частям и отбрасываем «поверхностные» члены, получая в результате
J- dxf(x)d,p = J dxf(x) {-дх[а{х, t)p] + \дгх[Ь{х, t)2p}}_
Отсюда, поскольку f(t) — произвольная функция,
d,p(x,t |*„, t0) = -д2х[а(х, t)p(x,t\x0, Г0)] + \дгх[Ь(х, tfp{x, г|х0, Г0)] •
(4.3.20)
Мы получили полную аналогию процессу диффузии, характеризуемому коэффициентом сноса а(х, 0 й коэффициентом диффузии b(x, t)2.
Полученные результаты полностью сходны с результатами разд.
3.5.3, где было показано, что процесс диффузии может быть локально аппроксимирован уравнением, напоминающим стохастическое дифференциальное уравнение Ито.
4.3.5. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Вообще говоря, системы стохастических дифференциальных уравнений п переменных могут быть записаны в виде
dx = Л(х, t)dt + В(х, t)dW(t), (4.3.21)
где dW(t) — винеровский процесс, описываемый п переменными, согласно определению разд. 3.8.1. Распространяя рассуждения, проведенные в разд..4.3.4, на случай многих переменных, можно показать, что уравнение Фоккера — Планка для плотности условной вероятности р(х, 11 лг0, t0) = р имеет вид
д.р = -2 д,[А,(х, t)p] + J ? Э,Э, {{В(х, t)F(x, t)\ijP}. (4.3.22)
i i,j
Заметим, что для всех матриц В, для которых ВВТ одинаково, получается одно и то же уравнение Фоккера — Планка. Это значит, что, заменив В на BS, где S — ортогональная матрица (55х = 1), мы получим то же самое уравнение Фоккера — Планка. Отметим, что S
138 Глава 4
может зависеть от x(t). Это можно показать более наглядно. Пусть S есть ортогональная матрица с произвольной неупреждающей зависимостью от t. Определим
dV{t) = S(t)dW(t). (4.3.23)
Вектор dV(t) является линейной комбинацией гауссовских переменных dW(t) с коэффициентами S(t), которые не зависят от dW(t), поскольку S(t) неупреждающая. Таким образом, для всякого фиксированного значения S(t), dV(t) являются гауссовскими, а их корреляционная матрица есть
