Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
'О 'о
Здесь х0 может быть либо неслучайным начальным условием, либо случайным, но не зависящим от fV(t) - W(t0) при t > t0; в противном случае x{t) не будет неупреждающей.
В таком виде функция x(t) гауссовская при условии, что х0 либо неслучайное, либо само по себе гауссовское, поскольку
\b(t)dW(t)
г0
есть просто линейная комбинация бесконечно малых гауссовских переменных. Далее,
(x(t)) = (ха) + j a(t)dt
'О
(поскольку среднее значение интеграла Ито обращается в нуль) и
<[*(0 - <х(0>][-Ф) - <-Ф)>]> = <x(r), x(s)>
Г s min(t,s)
= <J b(t')dW{t') J b(s')dms')) = J [b(t')fdt'.
'0 ro f0
Расчеты методом Ито и СДУ 145 Здесь мы воспользовались результатом (4.2.42), в котором, однако,
GW) = Ь(П | /' < t'
= 0 j t' ^ I
H{t') = b(t') | l'<s
= 0 j
Таким образом, процесс полностью определен.
4.4.2. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ БЕЛЫЙ ШУМ Уравнение
dx = сх dW(t) (4-4-3)
называется мультипликативным белым шумом, поскольку оно линейно по л-, но «шумовой член» dW(t) входит в него в качестве сомножителя. Точное решение этого уравнения может быть получено с помощью формулы Ито. Введем новую переменную
у = log jc (4.4.4)
и получим
dy = ~dx- ~ (dx)2
= с dW{t) — \c2dt. (4.4.5)
Это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:
ХО = y(Q + c[W(t) - W(t0])] - \c2(t - t0), (4.4.6)
откуда
x(t) = x(?0) exp {c[W{t) — W{ta)\ — \c\t — /o')} • (4.4.7)
Среднее значение можно рассчитать с помощью известной формулы для любой гауссовской переменной z с нулевым средним значением:
<ехр 2> = exp (<z2>/2) , так что (4.4.8)
<*(0> = (x(t0Y? exp [\c2{t - ta) - {c2{t — /0)]
= <x(t0)) . (4.4.9)
146 Глава 4
Этот результат также с очевидностью следует из определения, поскольку
(dx) = (сх dW(t)) = 0, так что
d{x) = 0 dt
Мы можем также вычислить автокорреляционную функцию <*(0*(j)> = <x(t0)2)(^p{c[W(t) + W(s) - 2W(t0)} - \c\t + 5 - 2/0)}>
= <*(/„)2>ехр{}с2[<[Ж(0 + ^(J) - 2Ж(г0)]2> -(t + s- 2/0)]}
= <x(/0)2)exp {^c2[/ + 5 — 2t0 + 2min(/, s) — (/ + j — 2r0)]}
= <x(/0)2)exp [c2min(/ — t0, s — /0)]. (4.4.10)
Интерпретация Стратоновича. Можно получить решение этого уравнения и в том случае, если интерпретировать его в смысле Стратоновича; в этом случае можно использовать обычные методы анализа. Тогда вместо (4.4.5) мы получим
dy = с dW{t), откуда
x(t) = x(t,) exp[c[W(t) - W(t0)]} . (4.4.11)
В таком случае
(x(t)) = <х(/0))ехр [\c\t - r0)] (4.4.12)
<x(0x(j)> = <х(/0)2)ехр {^[t + 5 - 2/0 + 2min(f — t0,s - f0)]} • (4.4.13)
Отчетливо видна разница между двумя полученными результатами.
4.4.3. КОМПЛЕКСНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ШУМЯЩЕЙ ЧАСТОТОЙ
Этот пример представляет собой упрощенный вариант модели, предложенной Кубо [4.4], и является некоторым обобщением предыдущего примера на случай комплексной переменной. Рассмотрим уравнение
jt =i[to + VbH'b, (4.4.14)
которое формально описывает простую модель осциллятора со средней частотой ш, возмущаемой шумовым членом ?(г).
Расчеты методом Ито и СДУ 147
С физической точки зрения этот процесс удобнее всего моделировать уравнением Стратоновича
В разд. 6.6 мы подробно покажем, почему модель Стратоновича здесь более удобна. Достаточно, по-видимому, обратить внимание на тот факт, что на практике ?(/) будет более гладкой функцией, чем белый шум, и поэтому, как и в случае модели Стратоновича, обычные методы анализа будут применимы.
В данном случае корреляционная функция, полученная из решения исходного уравнения Стратоновича, имеет вид
Физический интерес, однако, представляет комплексная корреляционная функция
Таким образом, в комплексную корреляционную функцию входит член, описывающий затухание, полностью обусловленный шумом. Этот эффект можно рассматривать как расфазировку, обусловленную наличием шума, из-за которой при большой разнице во времени z (t) и z*(t) становятся не зависящими друг от друга.
(S) dz = i[codt + л/2у dW(t)]z, эквивалентным уравнению Ито (см. разд. 4.3.6)
dz = t(i® — y)dt + i V2y dW(t)]z .
(4.4.15)
(4.4.16)
Беря среднее значение, мы сразу же получаем
(4.4.17)
с затухающим осциллирующим решением
<z(0> = exp {(wj - y)t](z(0)) .
(4.4.18)
(z(t)z(s)) = <z(0)2> exp [(wj — y)(t + j) — 2ym\n(t, j)] .
