Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
По определению
а(у) = a{g(y)] fry) = РМу)} ¦
Пользуясь формулой Ито и замечая, что df /dx = (dg/dy)~\ получаем СДУ Ито
dy
Возвращаясь теперь к уравнению Стратоновича по формуле (4.3.39), получаем
dy = (adt + pdW)
или
df[x(t)\ = {a[x(0, t]dt + p[x(t), t]dW(t)}f'[x(t)\ (4.3.41)
в полном соответствии с правилом замены переменных в обычном анализе.
2) Случай многих переменных. Если уравнение Ито для случая многих переменных имеет вид
dx = Л(х, t)dt +В{х, t)dW(t), (4.3.42)
то соответствующее ему уравнение Стратоновича может быть полу-
чено путем замены
А} = А, - * 2 BkjdkB,j (4.3.43а)
j,k
Щ = B,j . (4.3.436)
3) Уравнение Фоккера — Планка, соответствующее СДУ Стратоновича
(S) dx = А>(х, 1 )dt + В%х, t)dW(t), (4.3.44)
с использованием (4.3.43) и известной связи между СДУ Ито и уравнением Фоккера — Планка (разд. 4.3.5) может быть представлено в
142 Глава 4
виде
д,р = -Е з,{^р} + 2 Е з,{Д8А[в;*р]}_
•' /,У,*
(4.3.45)
(4.3.45) часто называют уравнением Фоккера — Планка в форме Стратоновича. В отличие от двух вариантов СДУ два уравнения Фоккера — Планка, хотя и имеют различный вид, подчиняются, естественно, правилам обычного анализа. Позднее мы увидим, что уравнение Фоккера — Планка в форме Стратоновича в ряде ситуаций появляется весьма естественным образом (разд. 6.6).
4) Сравнение интегралов Ито и Стратоновича. Интеграл Стратоновича, определенный согласно (4.3.30), представляет собой весьма специальный объект, поскольку, в его определении используется функция двух переменных G(z, t). Более «естественное» определение посредством G(x|"‘ (/, + /,_))], I (t, + /,_])) не было приведено Стратоновичем
в его оригинальной работе, хотя в литературе (включая и 1-е издание этой книги) можно встретить опеределения интеграла Стратоновича с помощью этого выражения. По-видимому, сходимость такого интеграла не может быть доказана (см. [4.6]). На практике строгое определение интеграла Стратоновича «из первых принципов» не представляет большого интереса, в то время как возможность осуществлять замену переменных по правилам обычного анализа имеет огромную важность. Последнее обеспечивается не столько самим определением, сколько соотношениями (4.3.37, 43) между двумя типами интеграла. Можно попросту определить интеграл Стратоновича формулой
(4.3.37), потребовав, чтобы функция удовлетворяла СДУ (4.3.31). С точки зрения математики это вполне приемлемо и сильно упрощает дело.
4.3.7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ
Точно так же, как и в случае детерминистических дифференциальных уравнений, решение стохастического дифференциального уравнения, в которое входят функции, непрерывным образом зависящие от некоторых параметров, также будет, как правило, непрерывным образом за-
Расчеты методом Ито и СДУ 143
висеть от этих параметров. Аналогично решение непрерывным образом зависит от начальных условий. Попробуем сформулировать это более точно. Рассмотрим уравнение для одной переменной
dx = я(Л, t)dt + b()., х, t)dW(t)
с начальным условием (4.3.49)
x(t0) = с(/) j >
где X — параметр. Пусть дг(Х, О есть решение (4.3.49). Пусть
1) st-lim с(А) = с(А0) ;
Я—До
2)lim{sup te[f0, Т][\а(к, х, t) — я(Л0, х, 01 4- |Щ, х, О - Ь(Д0, х, ОШ = 0;
Д—До iJttsSA'
3) существует К, не зависящее от X, такое, что
iea,*,oi2+ iw-.*>oi2 < *2о + i*2d-
Тогда
st-lim { sup \х(/., t) — х(Я0, 01} = 0 . (4.3.50)
Д—До
Доказательство можно найти в [4.1].
Замечания
1) Напомним, что по определению предела по вероятности предельный переход (4.3.50) означает, что при X — \ вероятность того, что максимальное отклонение на любом конечном интервале [/0, Т\ между ;с(Х, О и *(\)> О больше некоторой положительной величины, стремится к нулю.
2) Зависимость от начальных условий достигается за счет того, что а и b полагаются не зависящими от X.
3) Полученный результат будет очень полезен для обоснования разложений в теории возмущений.
4) Условие 2 записано в наиболее естественном виде для случая, когда функции а(х, t) и b(x, t) сами не являются стохастическими. Часто,
144 Глава 4
однако, а(х, t ) и b(x, t) представляют собой стохастические (неупреждающие) функции. В этом случае условие 2 должно быть сформулировано в вероятностном смысле. Для этого достаточно заменить Ншх_^ на st-limx_x().
4.4. ПРИМЕРЫ И РЕШЕНИЯ
4.4.1. КОЭФФИЦИЕНТЫ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ х Простое уравнение
dx = a{t)dt + b{t)dW{t), (4.4.1)
где a(t) и b(t) суть неслучайные функции времени, решается простым интегрированием
x(t) = Л'о -г j a(t)dt + j b(t)dW(t) . (4.4.2)
