Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Полученный результат не справедлив для интеграла Стратоновича, поскольку здесь значение G(_, выбирается в середине подынтервала и может быть скоррелировано с Д И//.
е) Формула, определяющая корреляцию
Если G(t) и H(t) — произвольные непрерывные неупреждающие функции, то
<2 Ci-.ДЮ = 2 ><Д^,-> = о,
(4.2.41)
</ G{t')dW(t') / H(t')dW(t'))> = jdt (G(t')H(O) .
(4.2.42)
Доказательство. Заметим, что
<2 G^AW, 2 Hj-iAWj} = <S Gi_lHi_i(AW,)1y
+ <2(^_,яу_, + Gj^H^AWjAW,^) . (4.2.43)
i>j
Во втором члене в правой части AW{ не зависит от всех остальных членов, поскольку j < a G и Н неупреждающие. Поэтому мы можем вынести множитель <Д ) = 0, из чего следует, что весь второй
130 Глава 4
член обращается в нуль. Пользуясь тем, что <ДИ"?> = А/,,
(4.2.44)
и меняя местами операции усреднения и перехода к пределу, получаем искомый результат.
С формальной точки зрения это эквивалентно утверждению, что ланжевеновские источники ?(/) дельта-коррелированы и некоррелиро-ваны с F(t) и G(t). Действительно, сделав замену
мы видим, что если F(t) и G(t) — неупреждающие функции, ?(/) не зависит от них и
Здесь, однако, возникает важный вопрос, касающийся определения. Когда в подынтегральное выражение входит дельта-функция, при исследовании стохастических дифференциальных уравнений нередко оказывается, что аргумент дельта-функции равен либо верхнему, либо нижнему пределу интегрирования. Иначе говоря, нам встречаются интегралы вида
и относительно значения таких интегралов могут быть сделаны различные допущения. Мы покажем, что в данном контексте нам следует всегда интерпретировать эти интегралы как
dw(t) - m)dt,
(4.2.45)
= / dt\G(t')H(t')y,
(4.2.46)
'0
отсюда следует, что
<?(/Ш> = 5(/ - *).
/, - 1,)
(4.2.47)
'1
ИЛИ
(4.248)
ч
и =/(/>)
(4.2.49)
h = 0,
(4.2.50)
Расчеты методом Ито и СДУ 13]
т. е. считать, что весь вес дельта-функции приходится на нижний предел интеграла и полностью пренебрегается у верхнего предела. Для того чтобы доказать это, заметим, что
< j G(t')dW(t') [J H(s’)dW(s')]) = 0. (4.2.51)
'О 'о
Это следует из того, что функция, определяемая интегралом в квадратных скобках, в силу замечания 5 разд. 4.2.4 является неупреждающей, и поэтому все подынтегральное выражение (полученное умножением указанного интеграла на также неупреждающую функцию G(t') представляет собой неупреждающую функцию. Поэтому среднее значение, как указано в разд. 4.2.6д, обращается в нуль.
Теперь, используя понятие ланжевеновского источника, мы можем переписать (4.2.51) в виде
J dt' j ds'(G(t')H(s'))?>(t' - s') = 0, (4.2.52)
<0 ‘0
что соответствует неучету веса дельта-функции у верхнего предела интегрирования. Весь вес дельта-функции должен учитываться у нижнего предела.
Это свойство является прямым следствием определения интеграла Ито в виде (4.2.10), где приращение «направлено в будущее», т. е.
dW(t) = W(t + dt) - W(t) . (4.2.53)
В случае интеграла Стратоновича мы получаем совершенно иную формулу, доказать которую вовсе не так просто, как для интеграла Ито, но для которой дело сводится к выбору
h = hm 1
(Стратонович) (4.2.54)
h = \т.
Это означает, что в обоих случаях учитывается половина веса дельтафункции, аргумент которой совпадает с пределом интегрирования. Хотя эта формула интуитивно более естественна, чем соответствующая формула для интеграла Ито, пользоваться ею сложнее, особенно в теории возмущений стохастических дифференциальных уравнений, где метод Ито позволяет избавляться от большого количества членов.
132 Глава 4
4.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (СДУ)
В разд. 4.1 мы пришли к выводу, что наиболее удовлетворительной интерпретацией уравнения Ланжевена
~ = а(х, t) + Ь(х, t)W) (4.3.1)
at
является стохастическое интегральное уравнение
x(t) - ДО) = I dt’a[x(t'), t'] + J dW(t')b[x(t’), /']. (4.3.2)
О о
К сожалению, рассуждения, проведенные в разд. 4.1, не дают возможности сделать вывод о том, какой именно интеграл (Ито или Страто-
новича) следует выбрать. С математической точки зрения интеграл Ито удовлетворительнее, однако он не всегда оказывается наиболее естественным в физическом смысле. Интегралом Стратоновича удобно описывать ситуации, когда под ?(?) понимают реальный шум (не белый шум) с конечным временем корреляции, которое после вычисления измеримых величин устремляют к нулю. Кроме того, метод Стратоновича позволяет пользоваться обычными приемами математического анализа, что невозможно при использовании метода Ито.
С математической точки зрения выбор предрешается тем, что с ис-. пользованием интеграла Стратоновича в недиффузионном случае почти невозможно проводить какие-либо математические доказательства. Поэтому мы определим СДУ в смысле Ито, покажем их эквивалентность СДУ Стратоновича и будем использовать те и другие в зависимости от конкретной задачи. Связь между СДУ с белым шумом и СДУ с реальным шумом будет разобрана в разд. 6.5.
