Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Впервые уравнение такого типа было получено М. Смолуховским [3.7*, 8*] см. русский перевод в [1.18*, с. 212, 320]). Поэтому данное уравнение было бы лучше называть уравнением Смолуховского — Чепмена — Колмогорова. — Прим. ред.
Марковские процессы 73
Уравнение Чепмена — Колмогорова имеет много решений. Легче всего понять это, выводя дифференциальную форму уравнения, что и делается в разд. 3.4.1 при определенных довольно слабых ограничениях.
3.2.2. ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ
В том случае, когда имеется дискретная переменная, будем использовать символ N = (Nх, N2, N3...), где TV, — случайные величины, принимающие целые значения. Очевидно, что можно произвести замену
(3.2.9)
л
Тогда уравнение Чепмена — Колмогорова для процесса рассматриваемого типа запишется в виде
Р(п ь ti\n3, = 2 Р(пи t}\n2, t2) Р(п2, t21 /»3, t3); (3.2.10)
пг
здесь стоит произведение матриц, которые могут быть и бесконечномерными.
3.2.3. БОЛЕЕ ОБЩИЕ МЕРЫ
Для более общей формулировки в (3.2.8) можно было бы использовать меру dfi(x) вместо dx\ при этом имеется широкая возможность выбора. Например, когда /г(х)— ступенчатая функция со скачками при целочисленных значениях х, охватывается случай пространства дискретных состояний. Большинство математических исследований выполняется в наиболее обшем виде. Для приложений такая общность может привести к потере ясности, поэтому, где это возможно, будем отдавать предпочтение более специальным обозначениям.
3.3. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Есть два совершенно разных вопроса: имеет ли случайная переменная X(t) непрерывный диапазон возможных значений и непрерывна ли траектория X(t) как функция t. Например, в случае газа, состоящего из молекул со скоростями У((), ясно, что все возможные значения V(t) реализуемы, так что диапазон изменения F(?) непрерывен. Однако часто рассматривается модель твердых сфер, в которой считается, что столкновения происходят мгновенно. В такой модели скорость до соударения и j в момент соударения мгновенно изменяется до другой вели-
74 Глава 3
чины i;f, так что кривая V(t) разрывна. Тем не менее следует ожидать, что положение X(t) молекулы газа в такой модели будет непрерывной функцией времени.
Теперь возникает главный вопрос. Существуют ли в действительности марковские процессы с непрерывными траекториями? Выделим здесь комбинацию понятий марковские и непрерывные. Почти наверняка справедливо утверждение, что в классической ситуации (т. е. не квантовомеханической) все переменные с непрерывным диапазоном изменения обладают непрерывными траекториями. Даже упомянутый газ из жестких сфер представляет собой идеализацию, а в действительности в соответствии с уравнениями механики следует допустить, что действующий потенциал приводит к непрерывному отклонению молекулы в процессе столкновения. Если наблюдение производится на достаточно мелкомасштабной временной шкале, то, кроме того, возможно также, что процесс не будет марковским. В этом случае, для того чтобы предсказать будущее системы даже вероятностным образом, почти наверняка потребуется знание непосредственно предшествовавшей истории всей системы. Эта трудность действительно возникает при всех попытках вывести марковские вероятностные уравнения исходя из механики. Получаемые при таком выводе уравнения в действительности довольно редко оказываются марковскими — чаще имеется некоторое характерное время запоминания, в течение которого важна предыстория [3.1].
Все это означает, что в действительности такого объекта, как марковский процесс, не существует. Скорее следует говорить о существовании систем с такими малыми временами запоминания, что на временных масштабах, на которых производится наблюдение, поведение этих систем хорошо аппроксимируется марковским процессом. Но в таком случае вопрос о том, непрерывны ли траектории, в действительности не имеет значения. Траектории аппроксимирующего марковского процесса, конечно, не обязательно должны быть непрерывны. Так, даже если столкновения молекул не описываются достаточно точно моделью твердых сфер, то все равно в течение времени столкновения произойдет изменение скорости на конечную величину, и это проявится в аппроксимирующем марковском процессе как дискретный скачок. На крупномасштабной временной шкале даже положение может меняться скачком, давая картину, аналогичную той, которая получилась в модели Эйнштейна броуновского движения.
В качестве примера можно указать химические реакции. Время, необходимое на совершение единичного акта реакции, которое приблизительно того же порядка, что и время столкновения молекул, дает еще одну минимальную постоянную времени. В течение этого проме-
Марковские процессы 75
жутка существуют состояния, которые не могут быть описаны только числами молекул различных типов. Поэтому само описание состояния как набора молекул различных типов требует, чтобы наблюдение велось на достаточно крупномасштабной временной шкале.
