Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Однако марковские процессы с непрерывными траекториями существуют в математическом смысле и полезны для описания реальных процессов. Упомянутая выше модель газа служит полезным примером. Положение молекулы в самом деле допустимо моделировать функцией, меняющейся прерывистым образом, дискретными скачками. По сравнению с проходимыми расстояниями эти скачки пренебрежимо малы, и хорошим приближением траектории служит непрерывная кривая. Далее, скорость молекул может меняться на величину порядка самой скорости. Средняя скорость молекулы газа порядка 1000 м/с, и в течение столкновения вполне вероятно изменение ее знака. Скорости просто не достигают (со сколько-нибудь существенной вероятностью) значений, для которых их изменения могут считаться малыми. Следовательно, нет особого смысла в непрерывном по траектории описании скоростей молекул в газе.
3.3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
Для марковского процесса можно показать [3.2], что с вероятностью единица реализация x(t) есть непрерывная функция от t, если для любого е > 0 имеет место предел
равномерно по z, t и At. Это означает, что вероятность того, что положение х отличается от z на конечную величину, стремится к нулю быстрее чем At при At — 0. (Уравнение (3.3.1) иногда называют условием Линдеберга.)
Примеры
1. Решение Эйнштейна (1.2.11) для введенной им функции f(x, t) (или, точнее, /(хг, t)/n) в действительности есть условная вероятность р (х, tlO, 0). Следуя его методу, мы нашли бы
lim-г- Г dxр(х, t + At\z, t) = 0
Ar-*0 * i «¦— r ! 'ъ e
Ar-~0 I lx-z,>e
(3.3.1)
p(x, t + At\z, t) — (4nDAt)~l/2 exp [— (x — z)2/4DAt)\.
(3.3.2)
и легко проверить, что условие (3.3.1) в этом случае удовлетворяется.
76 Глава 3
Таким образом, броуновское движение в трактовке Эйнштейна обладает непрерывными реализациями.
2. Процесс Коши. Пусть
р{х, t + At\z,t) = ^Щх - zf + Л;г]. (3.3.3)
Тогда эта функция не удовлетворяет условию (3.3.1) и реализации разрывны.
Однако в обоих случаях, как это необходимо для непротиворечивости,
lim р(х, t + At | z, /) = 5(x — z), (3 3 4)
Д/-0 v ’ '
и нетрудно показать, что в обоих случаях удовлетворяется уравнение Чепмена — Колмогорова.
Различие между двумя только что указанными процессами иллюстрирует рис. 3.1, на котором приведены типичные реализации процессов. Это различие очевидно. Заметим, однако, что даже кривая, изображающая броуновское движение, крайне нерегулярна, хотя и непрерывна. На самом деле она не дифференцируема ни в одной точке. Кривая процесса Коши, как и должно быть, беспорядочно разрывна.
3.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
При соответствующих предположениях уравнение Чепмена — Колмогорова может быть сведено к дифференциальному уравнению. Допускаемые при этом предположения тесно связаны со свойствами непрерывности рассматриваемого процесса. Сама форма условия непрерывности (3.3.1) приводит к необходимости разделить условия дифферек-
Марковские процессы 77
цируемости так, чтобы одни из них соответствовали непрерывному движению изображающей точки, а другие — разрывному движению. Требуем выполнения следующих условий: для всех е > 0 должна иметь место сходимость
равномерно по х, z и t для \х — z\ ^ е и предел не должен зависеть от е;
причем в двух последних условиях предполагается равномерная сходимость по г, ? и /.
Отметим, что все коэффициенты вида (3.4.2, 3) более высокого порядка должны равняться нулю. В качестве примера рассмотрим величину третьего порядка, определяемую формулой
|С(а, z, ?)1 < Пт т- J \а-{х - z)\[a-(x - z)f p{x,t + At\z,t) dx
Дг-O ix-il <e
+ 0(e)
< | a | e lim J [a ¦ (x — г)]2/>(х, t + At \ z, t)dx + 0(e)
1) lim p(x, t + At\z, t)/At = W(x\ z, t)
(3.4.1)
2) lim -f- J dx (x, — z,)p(x, t + At\z, t) = A,(z, t) + 0(e) ;
Дг-0
Дг-0 1X1 \x~z\<e
(3.4.2)
3) lim 4- J dx (Xi — z,) (x, — Zj)p(x, t + At \ z, t) = B,j(z, t) + 0(e);-
Дг—*0
(3.4.3)
lim 4- J dx (x— z,)(xj — Zj)(xk — zk) p(x, t + At \ z, t)
д._П LAI , — .
= Cijk(z, t) + 0(e).
Поскольку Cjjk симметрична no i,j, к, можно ввести
2 atajakCijk(z, t) = C(a, z, t)
i.j.k
(3.4.5)
(3.4.4)
так что
(3.4.6)
Тогда
= s\a\[aiaJBiJ(z, t) + 0(e)] + 0(e) ='0(e),
(3.4.7)
78 Глава 3
а значит, С равна нулю. Аналогично можно показать, что все соответствующие величины более высоких порядков также обращаются в нуль.
Согласно условию непрерывности (3.3.1), процесс имеет непрерывные траектории, только если fV(x\z, О = 0 для всех х Ф z. Значит, эта функция должна некоторым образом описывать разрывное движение, в то время как величины At и В^ должны быть связаны с непрерывным движением.
