Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(X'tXjXk} = <xtxjxky - да,><**> - <*,><*,**>
- <№><*,> + <Xt>(Xj}<Xkyr (2.7.6)
причем все эти формулы действуют и тогда, когда какие-то из чисел /, ./, k, I совпадают. Явная общая формула может быть получена следующим образом. Предположим, что требуется найти кумулянт
” Термин «корреляционная функция» удобно применять в том случае, когда одна или несколько случайных величин зависят от параметра, например, времени, т. е. когда имеется случайный процесс (или процессы). Тогда этот термин подчеркивает зависимость кумулянта от значений параметра. — Прим. ред.
62 Глава 2
(.(.ХхХ2Х3 ... Хп>>. Процедура заключается в следующем:
1) нужно написать последовательность из п точек ... ;
2) разбить эту последовательность на р + 1 подмножеств, расставив угловые скобки:
<•¦¦><..)<...>•¦<••>;
3) вставить вместо точек символы Xх ... Хп таким образом, чтобы были выписаны все различные выражения, причем что понимается под словом «различные», поясняет следующий пример:
<*,хад> = <*1><ад> Ф <х3хх1хгу ;
4) взять сумму всех указанных выражений, соответствующих данному р, и обозначить эту сумму С (Х17 Х2, ... , Хп)',
5).((^ Хг ... Х„)) = ? {-~\у р\Ср{Хи Хг, .... Хп). (2.7.7)
р = О
Вывод этой формулы дал Меерон [2.6]. Специальную процедуру ее получения предложил ван Кампен [2.7];
6) кумулянты с повторяющимися элементами', например, для определения ((Х^Х3Х2)) нетрудно найти выражение для
< <XjX^jX^ > и положить в нем ХЛ — Хх.
2.1 Л. ПРИМЕР: КУМУЛЯНТ 4-ГО ПОРЯДКА < <>
а) р = О,
единственный член есть (XtX2X3X4) = С0(Х1Х1Х3ХЛ).
б) р = 1
разбиение < .) <...) дает вклад «А'.ХЛ'гВД) + (Л'гХЛ'зВД) + СГ3ХВД*2>
+ (Х^^ХгХгУ) = D, t
разбиение <..) <..) дает вклад
<Х1Х2)(Х3Х4у + (Х,Х3}(Х2Х4) + <ВД><М> = Dz.
Итак,
D, + D2 = С^ХгХ3Xa) .
Понятия теории вероятностей 63
г) р = 3, разбиение <.) < .> < .> < .) дает вклад
<^><х2><^з><х4> = Сзсадад) •
Следовательно,
«*,*2*3*4» = Со - С, + 2С2 - 6С3.
(2.7.8)
2.7.2. ЗНАЧИМОСТЬ КУМУЛЯНТОВ
Из (2.7.4, 5) видно, что первые два кумулянта — это средние <*,•> и корреляционная матрица <Xt, Х-У. Значимость кумулянтов более высокого порядка убывает с увеличением порядка, но не так, как у моментов. Например, нельзя все моменты порядка более высокого, чем заданный, положить равными нулю, поскольку <*2"> ^ <Хп)2, и, следовательно, все моменты несут информацию о моментах более низкого порядка. Для кумулянтов же вполне допустимо положить
((*-)) = 0 (и > 2),
и, используя формулу обратного преобразования для характеристической функции, нетрудно получить
т. е. гауссово распределение вероятности. Затруднительно добавить, однако, что-либо к высказанному суждению. Действительно, теорема Марцинкевича [2.8, 9] устанавливает, что производящая функция кумулянтов не может быть полиномом степени, большей чем 2, т. е. либо все кумулянты, кроме первых двух, равны нулю, либо имеется бесконечное число отличных от нуля кумулянтов. Важность кумулянтов связана прежде всего с тем, что при их помощи определяются корреляционные функции различных переменных, а это в дальнейшем позволит применять важные аппроксямационные методы.
((*}) = о ((**)) = а2
р(х) = -^75^е*р[- (* ~ а)72о-2],
(2.7.9)
64 Глава 2
2.8. ГАУССОВСКОЕ И ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.8.1. ГАУССОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Гауссовское, или нормальное, распределение играет очень большую роль. Ниже приведены основные касающиеся его факты.
Если X — вектор, составленный из п гауссовских случайных переменных, то соответствующее распределение плотности вероятности может быть записано в виде
Особенно простой вид этой характеристической функции связан с тем, что все кумулянты порядка, большего чем 2, равны нулю, а значит, все моменты порядка, большего двух, выражаются через моменты первого и второго порядков. Соотношение (2.8.3) означает, что а — корреляционная матрица в соответствии с разд. 2.5.1, т. е. матрица, элементы которой равны корреляционным функциям второго порядка. При этом, конечно, матрица а симметрична.
Точное соотношение между высшими моментами и ковариационной матрицей а может быть непосредственно выписано, если использовать связь между моментами и характеристической функцией (разд. 2.6, свойство 4). Формула проста только при х = 0, когда нечетные моменты равны нулю, а четные моменты удовлетворяют соотношению
(XtXjXk ...) = дг|2^' ¦ • ¦} sym ,
где индекс “sym” означает симметризованную форму произведений, составленных из а; 2N — порядок момента. Например,
р(х) = [(2л)" det(cr)]-1/2exp[—К* ~ х)та~'(х - *)],
(2.8.1)
так что
(X) = J dx хр(х) = х,
(ХХТ) = J dx ххтр(х) = ххт + а.
(2.8.2)
(2.8.3)
При этом характеристическая функция дается выражением ф(х) = <exp(isT X)) = exp(isT х — as).
(2.8.4)
^XiX2X]X4y j'[o'i2°’34 + O41O23 + ст j 3С24]
