Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, условная вероятность может быть записана в виде ps(x-i,ti — t2\x!, 0). (3.7.4)
Для марковского процесса, поскольку все совместные вероятности могут быть представлены как произведения двухвременных условных вероятностей и одновременной вероятности, необходимым и достаточным условием стационарности служит возможность записать эти одно- и двухвременные вероятности в форме (3.7.1 — 3).
3.7.1. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА
Если задан стационарный процесс, разумно ожидать, что среднее значение некоторой измеряемой функции от д: можно получить, взяв значения величины х в последовательные моменты времени и усреднив по времени функцию от этих значений. По существу это основано на предположении, что закон больших чисел (как пояснено в разд. 2.5.2) применим к переменным, определяемым последовательными измерениями стохастического процесса.
Введем переменную X(Г) следующим образом:
Х(Т) = ~ \ dt x{t), (3.7.5)
Т
где x(t) — стационарный процесс, и рассмотрим предел Т — оо. Такая процедура дает возможный вариант измерения среднего от х путе^ усреднения по всем временам. Очевидно, что
<Х(Т)) = <*>„ (3.7.6)
где индекс s отмечает, что среднее относится к стационарному процес-су.
Рассчитаем теперь дисперсию переменной Х(Т). Имеем
<Z(7T> ‘J J dt,dt2 {x{t,)x(t 2)>. (3.7.7)
47 -т-т
Если процесс стационарный, то
<*(/]) х(/2)> — — h) + <Л>2, (3.7.8а)
где R — двухвременная корреляционная функция. Следовательно,
<Х(ТУ) - <хУ = ^2 Г dx R(T)(2T - It I);
Ч-i _2 T
(3.7.86)
90 Г лава 3
последнее выражение получено с помощью замены переменных
т = tt — t2 .
<3-7'9)
и интегрирования по t.
Левая часть равенства (3.7.8) представляет собой дисперсию величины Х(Т), и можно показать, что при определенных условиях она стремится к нулю при Г — оо. Для этого нужно потребовать, чтобы
Это требование не очень прозрачно. Однако ясно, что достаточным для обращения этого предела в нуль служит условие
]di |Д(т)| < оо , (3.7.11)
0
т. е. просто требуется, чтобы корреляционная функция <x(/j)x(/2)> стремилась к нулю при \tx — t2\ —• оо достаточно быстро1*. В случаях, представляющих интерес, часто оказывается, что R(t) имеет такое асимптотическое поведение
R(т) — Re {А ехр (—т/тс)} , (3.7.12)
Из (3.7.10) легко вывести более слабое достаточное условие сходимости:
г
lim T~l J \R(r)\dr = 0 (а).
г- « 0
Из него можно получить, что в случае ограниченности функции 1/?(т)1 достаточным является следующее простое условие lim R(t) = 0. В самом деле, из последнего ра-
Т — ОО
венства следует, что при любом е > 0 существует такое Т0, что I (т) I < в при т ^ 7^. Поэтому при Т> Т0 имеем
т Т,
f \R(r)\dT = J \R(t)\c!t + К,
0 0
где I А" I < е(Т — Г0), а также, при фиксированном Т0,
lim T~l j \R(r)\dT ^ е.
г- оо 0
Поскольку величина е может быть взята сколь угодно малой, отсюда получаем, что указанный предел равен нулю. Следовательно, достаточное условие сходимости (а) выполнено. Сходимость R(t) — О при т — оо является признаком перемешивающегося процесса. Известно, что перемешивающиеся процессы являются эргодическими. — Прим. ред.
Марковские процессы 91
где тс — параметр (возможно, комплексный), называемый временем корреляции. При этом критерий (3.7.11) выполнен и дисперсия переменной А'(?) стремится к нулю, так что, используя (3.7.6) и (2.9.4), можем записать
ms-lim Х(Т) = <V>S. (3.7.13)
Г—.оо
Это означает, что процедура усреднения (3.7.5) правомерна. Нетрудно распространить данный результат на случай усреднения по бесконечному набору измерений в дискретные моменты времени tn — t0 + nAt.
Можно сформулировать и другие утверждения, связанные с эргодичностью, при этом величинами, представляющими наибольший интерес, служат автокорреляционная функция и функция распределения. Как уже отмечалось в разд. 1.4.2, наиболее естественный путь измерения автокорреляционной функции основан на определении
G(t, Т) = ^ / dt x{t)x(t + т). (3.7.14)
¦* О
Проводя рассмотрение, аналогичное изложенному выше, нетрудно показать, что
ms-lim G(г, Т) = <*(?)*(* + т)>5, (3.7.15)
Т- оо
если выполнено следующее условие. Определим р(т, X) равенством <x(t + Я + т)х(/ + ))x(t + r)x(t))s = pit, Я) + (x(t + t)x(())s ¦ (3.7.16)
