Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Понятия коррелированного многомерного пуассоновского распределения, являющегося аналогом понятия многомерного гауссовского распределения, не существует.
2.9. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Значительная доля работы в расчетах связана с нахождением аппроксимаций случайных переменных, при этом естественным образом возникает понятие предела последовательности случайных переменных. Однако нет единого способа определения такого предела.
В самом деле, допустим, что имеется вероятностное пространство
О и последовательность случайных переменных Хп, которые определе-
(2.8.18)
Для распределения Пуассона имеем
G(s) = f] 6 ^ = ехр[а(5 - 1)].
х=о х:
(2.8.19)
g(s) = log G(s)
и факториальные кумулянты {{X')) f соотношением
(2.8.20)
^) = 2((^))f(±-7ir. х=\ /7
л e~ai(a )xi
P(XU *2, А-з,...)=П^~-™Г~ • (=1 *(!
(2.8.21)
68 Г лава 2
ны на U. Тогда под пределом последовательности X = lim Х„ (2.9.1)
л—со '
понимается такая случайная переменная X, к которой Хп приближается в определенном смысле. Если рассматривается вероятностное пространство О с элементами ш и плотностью вероятности р (ш), то имеются различные возможности. Так, можно выбрать следующие определения.
2.9.1. ПРЕДЕЛ ПОЧТИ НАВЕРНОЕ
Последовательность Хп сходится к X почти наверное, если для всех ш, кроме множества нулевой вероятности, имеет место сходимость
lim Xn(oj) = X(oj). (2.9.2)
П-»оо
Таким образом, реализации Хп приближаются к X, и мы записываем в этом случае
ac-lim Х„ = X. (2.9.3)
п—*00
2.9.2. ПРЕДЕЛ В СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМ
Другая возможность состоит в рассмотрении Хп (ш) как функции ш и нахождении среднеквадратичного отклонения Хп (ш) от X. При этом’ говорится, что Хп сходится к X среднеквадратично, если
lim J dcoр(со)[Х„(со) — Х((о)]г = lim ((Х„ — X)2) = 0 ¦ (2.9.4)
Л—*<*= Л-*»
Этот вид предела хорошо известен в теории гильбертовых пространств и обозначается
ms-lim Хп — X. (2.9.5)
Л-*СО
2.9.3. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ, ИЛИ ПРЕДЕЛ ПО ВЕРОЯТНОСТИ
Мы можем рассматривать также приближение Хп (ш) к X в том смысле, что вероятность отклонения от X стремится к нулю. В точной формулировке это значит, что если для любого г > О
lim Р(\Х„ — Х\ > е) = 0, (2.9.6)
п— 00
то мы имеем предел по вероятности последовательности Хп.
Понятия теории вероятностей 69
Заметим, что рассматриваемая вероятность отклонения может быть записана также в ином виде. Пусть х?(г) — следующая функция:
yE(z) =1 I Z I > ?
(2.9.7)
= 0 |Г| < ? .
Тогда
Р(\Х„ - Х\ > ?) = J (ко р{со)Х'{\Хя - Х\). (2.9.8)
В этом случае пишем
st-lim = *. (2.9.9)
2.9.4. ПРЕДЕЛ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
Еще более слабая форма сходимости возникает, если для некоторой непрерывной ограниченной функции f(x) выполняется равенство
lim </(*„)> = </(*)> . (2.9.10)
я-.оо V '
В этом случае говорят, что имеет место сходимость к пределу по распределению. В частности, используя в качестве f(x) функцию exp(/xs), видим, что выписанное соотношение означает сходимость последовательности характеристических функций и, следовательно, сходимость плотности вероятности переменных Хп к плотности вероятности переменной X.
2.9.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДЕЛОВ
Можно показать, что выполняются следующие соотношения:
сходимость почти наверное => сходимость в среднеквадратичном; сходимость в среднеквадратичном => сходимость по вероятности; сходимость по вероятности => сходимость по распределению.
Все рассмотренные виды пределов находят применение в различных приложениях.
3
Марковские процессы
3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Все примеры, приведенные в гл. 1, математически описываются как стохастические процессы, под которыми понимаются в широком смысле системы, ведущие себя во времени вероятностным образом, или, точнее, системы, в которых имеется определенная зависящая от времени случайная переменная X{t). Можно измерить значения дг,, х2, д:3, ... и др. переменной X{t) в моменты времени tu t2, t3, ... и предположить, что существует набор совместных плотностей вероятностей
р(х 1, ti-Хг, /2; ж,, /3; ...), (3.1.1)
который полностью описывает систему.
