Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
СГ12СГ34 + er41er2 з + 0’1з0’24
(2.8.5)
(2.8.6)
<*!> = Ю = 3ait .
Понятия теории вероятностей 65
2.8.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Гауссовское распределение играет особую роль благодаря целому ряду причин. На практике многие переменные действительно Хорошо аппроксимируются гауссовскими распределениями. Почему это так — устанавливает центральная предельная теорема, которая, если ее сформулировать коротко, утверждает, что случайная переменная, представляющая собой сумму большого числа независимых составляющих с произвольными распределениями, является гауссовской. Точнее, пусть Хх, X2, Х3, ... , Хп — независимые случайные переменные, такие, что
для каждого фиксированного t > 0. При удовлетворении перечисленных условий распределение нормированных сумм Sn/an с ростом п стремится к гауссовскому распределению с нулевым средним и единичной вариацией.
руем, однако, исходные предположения. Отметим, во-первых, что была потребована независимость составляющих Xjm В этом условии нет абсолютной необходимости: например, можно выбрать
где Yj уже независимы. Поскольку сумма величин X может быть записана в виде суммы величин Y с некоторыми конечными коэффициентами, теорема также действует.
Грубо говоря, выполнение центральной предельной теоремы можно ожидать, если корреляция между Xt и Х} стремится к нулю при U — j\ — оо достаточно быстро. Условие Линдеберга (2.8.10) не имеет наглядной интерпретации, можно только отметить, что это наи-
<*,> =0, D {X.,} = bf,
(2.8.7)
и пусть PjQCj) — функции распределения величин Хг Введем обозначения
п
S„ = ?X
(2.8.8)
л
(2.8.9)
= D {SJ = ?*?.
i=l
Потребуем далее выполнения условия Линдеберга
lim ? | dx х1 р?х) = О
„—со \_<7п i=l \x\>t<T„
(2.8.10)
Доказательство этой теоремы можно найти в [2Л]. Прокомменти-
(2.8.11)
66 Г лава 2
более слабое ограничение, обеспечивающее соблюдение требования, чтобы вероятности больших значений \Х/\ были достаточно малы. Например, если все bt бесконечно велики или больше, чем некоторая постоянная С, то, очевидно, последовательность а* расходится при л — оо. Сумма интегралов в (2.8.10) — это сумма вкладов в дисперсии значений \Х(\ > tan\ при этом ясно, что при п — оо каждый такой вклад стремится к нулю. Условие Линдеберга требует, чтобы сумма всех вкладов нарастала медленнее аВ действительности это весьма слабое ограничение, которое удовлетворяется, например, если \Х(\ <
< С или если Pj (>г) стремится к нулю при х ± оо достаточно быстро. Исключением служит распределение
Pi(x) = аМ*г + а?)]-1 , (2.8.12)
которое называется распределением Коши, или лоренцианом. Дисперсия этого распределения бесконечно велика, и в самом деле, сумма всех Xj имеет распределение такого же вида, как (2.8.12), где а, заменено на ?f=ia/. Очевидно, в этом случае условие Линдеберга не выполняется. Условие, аналогичное рассмотренному и также называемое условием Линдеберга, будет фигурировать в разд. 3.3.1, где обсуждается замена дискретного процесса на процесс с непрерывными приращениями.
2.8.3. ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Распределение Пуассона занимает центральное место в изучении случайных величин, принимающих целые положительные значения. Если X — соответствующая переменная, то распределение Пуассона определяется формулой
Р(Х =х) = Р(х) = с~аа*/х \. (2.8.13)
Ясно, что факториальные моменты, определяемые как <*'>, = <*(* - 1)... (X - г + 1)> , (2.8.14)
даются формулой
(Xr)s = ar. (2.8.15)
Для переменных, принимающих целые неотрицательные значения, естественно ввести производящую функцию
G(s) = ?] s*P(x) = 0*> (2.8.16)
д:-0 ,
которая связана с характеристической функцией соотношением G(j) = ?5(-ilogj). (2.8.17)
Понятия теории вероятностей 67
Производящая функция обладает следующим полезным свойством:
Можно определить также факториальную производящую функцию g(s) кумулянтов
Нетрудно видеть, что для распределения Пуассона все факториальные кумулянты, кроме первого, равны нулю.
Распределение Пуассона естественным образом возникает в самых разнообразных ситуациях; так, оно уже встречалось в разд. 1.4.1 как решение простого управляющего уравнения. Существенная роль, которую играет распределение Пуассона в изучении целочисленных случайных переменных, во многом аналогична той роли, которую играет гауссовское распределение при изучении переменных с непрерывной областью изменения. Однако единственным простым обобщением распределения Пуассона на случай многих переменных служит обычное произведение нескольких таких распределений вида
