Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
2.6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Возможна ситуация, когда переменные независимы, но не попарно. Для рассмотрения таких, а также других случаев вводится характеристическая функция.
Если s — вектор с компонентами (Sj, s2, ... , sn), а X — вектор случайных переменных (Х{, Х2, ... , Хп), то характеристическая функция (или, иначе, производящая функция моментов) определяется так:
*5(s) = <ехр (is • X)) = J dx р(х) exp (is • х). (2.6.1)
Характеристическая функция обладает следующими свойствами [2.1, гл. XV]:
1) *5(0) = 1 ;
2) ji I (®) | < 1;
3) ф (^) — равномерно непрерывная функция своих аргументов для всех конечных действительных значений s [2.5];
4) если моменты <П,^Т'> существуют, то
5) последовательность плотностей вероятности сходится к предельной плотности вероятности тогда и только тогда, когда соответствующие характеристические функции сходятся к характеристической функции предельной плотности вероятности;
6) формула обратного преобразования Фурье
В соответствии с этой формулой ф (s) определяет р (х). Значит, характеристическая функция действительно характеризует плотность вероятности;
7) соотношения для независимых случайных переменных: из определения независимых случайных переменных в разд. 2.3.4 следует, что
(2.6.2)
р(х) = (2л) " J ds ф(s) exp (—ix ¦ s).
(2.6.3)
60 Г лава 2
переменные Л-,, Х2... независимы тогда и только тогда, когда р(хи х2, ..., х„) = pi(xx)p2(x2)... рп(хп); (2.6.4)
в этом случае
<j)(s 1, S2, . .., .?„) ^l(^l)^2(^2) • • фп(^п)}
8) сумма независимых случайных переменных независимые случайные переменные и если
Y = ±Xt,
i=i
а характеристическая функция для Y есть Фу{б) = <ехр (ijy)> , тогда
= (2.6.8)
i' = 1
Характеристическая функция играет в этой книге важную роль, связанную со свойством сходимости 5. Это свойство позволяет рассматривать сходимость характеристической функции; при этом доказательство часто оказывается легче, чем при анализе сходимости самого распределения вероятности. Более того, то, что характеристическая функция в самом деле определяет распределение (формула (2.6.3)), означает, что разные характеристические функции возникают благодаря разным исходным распределениям. Кроме того, непосредственное получение моментов, согласно (2.6.2), прямо связывает определение характеристической функции с нахождением измеряемых величин.
(2.6.6)
(2.6.7)
(2.6.5)
: если Хх, Х2, ...—
2.7. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ КУМУЛЯНТОВ:
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И КУМУЛЯНТЫ
Следующее важное свойство характеристической функции проявляется при рассмотрении ее логарифма:
Ф(«) = log ^(s)> (2.7.1)
который называется производящей функцией кумулянтов. Предположим, что существуют все моменты, так что <?($), а значит, и Ф($) разлагаются в степенной ряд, который записывается в виде
= 2 7Т 2 т , (ХрХр ... *:»» фф ... & 5(г, ? т,), (2.7.2)
r=i /1 ы тА..,т\ i=I
‘ 1 •
Понятия теории вероятностей 61
где величины {{X’^X'j1 ... X1"")) называются кумулянтами переменных X. Из этого обозначения не следует, что кумулянты представляют собой функции от данного произведения различных степеней компонент X, оно просто указывает моменты наивысшей кратности, которые фигурируют в представлении кумулянтов через моменты. Стратонович [2.4] использует также термин корреляционные функции, однако этот термин мы зарезервировали для обозначения кумулянтов в случае многих переменных Х^К Действительно, если все X независимы, то свойство факторизации (2.6.8) означает, что производящая функция кумулянтов Ф($) есть сумма п членов, каждый из которых представляет собой функцию только одной переменной s,-, и, следовательно, все коэффициенты при смешанных произведениях переменных (т. е., согласно нашей терминологии, корреляционные функции) равны нулю. Верно и обратное утверждение. Таким образом, величина корреляционной функции служит мерой степени взаимосвязанности переменных.
Кумулянты и корреляционные функции можно выразить через моменты, если разложить характеристическую функцию в степенной ряд:
#*) = ? 7Г 2 ... Ху} —^-7——,- 5(r, Sт,) sf'sp ... -, (2.7.3)
1 г\ и ... т„\ ,=i
далее разложить в степенной ряд также логарифм этой величины и сравнить этот ряд с (2.7.2). Для Ф(.у) не существует какой-либо простой общей формулы, выражающей кумулянты через моменты, но для нескольких кумулянтов низших порядков можно привести явные выражения
«*,)) - <*,> (2.7.4)
«ВД) = (XjXj) - <Х,ХХ,> (2.7.5)
