Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
d,p(z, t\y, /') = -Il^[A'(z, t)p(z,t\y, /')]
+ ?-J [Bij{z, t)piz, t\y,t')] (3.4.22)
+ j dx [f?(z\x, t)p(x, t\y, t’) - W(x\z, t)p{z, t\y, /')] •
При этом интегралы по поверхности не возникают, поскольку они при выбранных условиях обращаются в нуль.
У этого уравнения в литературе нет единого названия. Поскольку это просто дифференциальная форма уравнения Чепмена — Колмогорова, предлагаем называть его дифференциальным уравнением Чепмена — Колмогорова1).
3.4.2. СТАТУС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
Из приведенного остается неясным, в какой мере решения дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова являются решениями самого уравнения Чепмена — Колмогорова и в каких случаях решения существуют. Справедливо, однако, утверждение, что набор условных вероятностей, удовлетворяющих уравнению Чепмена — Колмогорова, порождает марковский процесс в том смысле, что найденные при его помощи совместные вероятности удовлетворяют всем аксиомам теории вероятностей.
Уравнение (3.4.22), линейное относительно р (хотя и довольно общее) получено при определенных предположениях и не охватывает ряда частных случаев, например случай (3.3.3). Его вряд ли стоит называть тем же именем (уравнение Чепмена — Колмогорова), что и нелинейное функциональное уравнение (3.2.8). Правильнее было бы его называть объединенным уравнением Фоккера — Планка и Колмогорова — Феллера. — Прим. ред.
82 Глава 3
Можно показать [3.3], что если заданы А{х, t), В(х, t) (причем последняя матрица должна быть неотрицательно определенной), а также IV (х\ у, t) (которая должна быть неотрицательна), то при определенных условиях существует неотрицательное решение дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, причем это решение удовлетворяет также уравнению Чепмена — Колмогорова. Условия, которые должны быть выполнены, — это начальные условия
p(z, t\y, t) = 8(j> - z),
вытекающие из определения плотности условной вероятности, а также некоторые граничные условия. Эти последние весьма сложно указать для уравнения общего вида, однако в случае уравнения Фокке-ра — Планка (разд. 3.5.2) они приведены в гл. 5.
3.5. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УСЛОВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ
Теперь видно, что каждое из условий 1 — 3 разд. 3.4 порождает в выведенном уравнении определенные члены, интерпретация которых достаточно проста. Здесь можно обнаружить наличие трех процессов: скачков, сноса и диффузии.
3.5.1. СКАЧКООБРАЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ Рассмотрим случай, когда
A,(z, t) = Bij(z, t) = 0, (3.5.1)
чему соответствует управляющее уравнение11
d,p(z, t\y, t') = J dx[W(z\x, t)p(x, t\y, /') - Щх\z, t)p(z, t\y, /')] • (3.5.2)
Решение с учетом членов первого порядка по At ищется следующим образом. Замечаем, что
p(z, t\y, t) = S(j> - z). (3.5.3)
Тогда
p(z, t + At\y, t) = 8(y — z)[l — J dx Щх\у, t)At] + W(z\y, t)At. (3.5.4)
П Это уравнение называется уравнением Колмогорова — Феллера (см. [2.5]). При этом в однокомпонентном случае W(z\x, t) = p(t, x)dP(t, x, z)/dz, dP(t, x, z.)/dz = = fV(z\x, t)/\dz'W(z' ix, l). Видим, что функции p(t, x), P(t, л:, z), определенные в [2.5], и функция fV(z[x, t) > 0 легко выражаются друг через друга. — Прим. ред.
Марковские процессы 83
Видим, что для любого At имеется конечная вероятность нахождения частицы в начальном положении у, которая дается коэффициентом при 50 — г) в (3.5.4). Распределение частиц, уходящих из точки у, •определяется (при соответствующей нормировке) функцией W(z\y, t). Таким образом, типичная траектория X(t) будет состоять из отрезков прямых X(t) — const, чередующихся с разрывными скачками, распределение которых дается функцией fV(z\y, t). По этой причине данный процесс называется скачкообразным процессом. Траектории имеют разрывы в дискретном множестве точек.
В том случае, когда пространство состояний состоит только из целых чисел, управляющее уравнение принимает вид
Здесь не возникает вопроса о возможности скачкообразных изменений, поскольку разрешены только дискретные значения переменной состояния N(t). Важно, однако, отдавать себе отчет, что чисто скачкообразный процесс может происходить, даже если переменная X(t) принимает значения из непрерывного множества.
3.5.2. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Если функцию W(z\x, t) положить равной нулю, то дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова сводится к уравнению Фоккера — Планка:
и соответствующий процесс известен в математике как диффузионный процесс. Вектор А (г, t) называется вектором сносов, а матрица B(z, t) = \\Bjj{z, ОН — диффузионной матрицей. Эта матрица является неотрицательно определенной и симметричной, что следует из ее определения (3.4.3). Из определения (3.4.1) функции W(x\z, 0 легко видеть, что условие 3.3.1 непрерывности траекторий удовлетворено, если величина W(x\z, t) равна нулю. Следовательно, уравнение Фоккера — Планка описывает процесс, для которого функции X(t) непрерывны. На самом деле можно дать гораздо более полное эвристическое описание процесса. Рассмотрим вероятность р (г, t + At I у, t) при условии, что
