Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 40

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 185 >> Следующая


Потребуем, чтобы

<з'7-17»

Это условие означает, что для достаточно больших X четырехвременное среднее (3.7.16) факторизуется, т. е. превращается в произведение двухвременных средних, и что остаточный член р(т, X) должен достаточно быстро убывать при X — оо. Вполне достаточно экспоненциального спадания, подобного приведенному в (3.7.12), которое обычно и имеет место. Аналогичным образом находим, что спектр, определяемый, согласно разд. 1.4, преобразованием Фурье
92 Глава 3

дается также предельным переходом

S(ru) = lim

7—сс 2к i

т

J dt e~iw'x(t)

о

2

(3.7.19)

Наконец, рассмотрим вопрос об измерении функции распределения. Практический метод состоит в многократном определении того, попадает ли x(f) в некоторый интервал (Xj, х2) или нет. Это дает изме-

Л'г

рение величины j dxps{x). По существу, такая процедура дает среднее

* 1

по времени функции х(х)> определяемой равенствами

/(х) —- 1 Xj < х < х2

(3.7.20)

— 0 х < х, или х ^ х2.

Применяя к данной случайной величине процедуру, использованную для проверки эргодичности <х>, находим, что распределение эр-

годично, если

:;п- ' J dr(] — Ш) J dx'ps(x'){] dx[p(x,r\x',0)—ps(x)]} = 0. (3.7.21)

•г. • / _ 27’ \ L / / Х{ Х1

Очевидным достаточным условием для этого служит требование lim р(х, т|х', 0) = ps{x)y (3.7.22)

причем сходимость к этому пределу должна быть достаточно быстрой. Как уже отмечалось при рассмотрении среднего <х>, вполне достаточно экспоненциальной сходимости, часто встречающейся на практике. Последнего условия в случае марковского процесса достаточно также для эргодичности среднего и автокорреляционной функции, поскольку все средние могут быть выражены через условные вероятности, и достаточно быстрая сходимость к пределу в (3.7.22), как нетрудно убедиться, гарантирует выполнение обоих условий (3.7.17) и

(3.7.10). Будем дальше называть марковский процесс просто «эргоди-ческим», если указанное довольно сильное условие выполнено.

3.7.2. ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Если условие (3.7.22) для стационарного марковского процесса выполнено, то, очевидно, в нашем распоряжении имеется способ, как из стационарного марковского процесса сконструировать нестационарный процесс, пределом которого при больших временах служит данный
Марковские процессы УЗ

стационарный процесс. Действительно, определим процесс для времен

Все другие совместные вероятности для марковского процесса получаются из последних обычным способом. Очевидно, если (3.7.22) выполнено, то при t — оо или при f0 — — оо находим

р{х, t) — ps(x).

Все другие вероятности при этом также становятся стационарными, поскольку условная вероятность стационарна. Описанный процесс, обладающий свойством указанного предельного перехода, называется однородным процессом.

Его физическая’интерпретация вполне очевидна. У нас имеется стохастическая система с переменной лг, причем внешним воздействием устанавливается значение *0 в момент t0. Затем с течением времени она эволюционирует обратно к стационарному состоянию. Именно так и возникают в действительности многие стационарные системы.

Стационарное распределение ps(x) является решением стационарного дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, которое принимает вид

Факт однородности процесса проявляется в том, что величины А, В и W, определяемые формулами (3.4.1 — 3), не зависят от t. Это служит альтернативным определением однородного процесса.

3.7.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОМУ ПРОЦЕССУ

Существует также проблема сходимости. Предположим, что А, В it W не зависят от времени, а р (z) удовлетворяет уравнению (3.7.26). Спрашивается: при каких условиях решение дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова действительно будет приближаться к стационарному решению pjz)?

t, t' > h

(3.7.23)

равенствами

p(x, t) = p&x, t |X0, to)

(3.7.24)

p{x, t\x', t') = p?*,t\x', t').

f3.7.25)

+ \ dx [W(z\x)p(x, t\v. t') — lV(x\z)p(z, M.v. /')] ,

(3.7.26)
94 Г лава 3

На этот вопрос, по всей видимости, нет полного ответа. Однако достаточно хорошее представление о ситуации можно получить следующим образом. Определим функционал Ляпунова К, зависящий от каких-либо двух решений рх и р2 дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова:

К = J dx Pi(x, ?) log [р,(дс, (3.7.27)

и предположим пока, что рх и р2 нигде не обращаются в нуль. Покажем теперь, что функционал К всегда положителен, а производная dK/dt всегда отрицательна.

Сначала, замечая, что обе функции р2(х, t) и рх(х, t) нормированы на единицу, записываем К в виде
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed