Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Возможен также случай, когда коэффициент A(z, t) не равен нулю, а матрица B(z, t) равна нулю. Тогда, как показано на рис. 3.3, траектории состоят из кусков гладких кривых решений уравнения (3.5.14) с наложенными на них разрывами. Это очень напоминает картину, которую можно ожидать в разреженном газе, где свободно движущиеся частицы при столкновениях испытывают мгновенное изменение импульса (но не позиции, как в рассмотренном случае).
Z(t)
Рис. 3.2. Типичная реализация марковского процесса общего вида, в котором присутствуют снос, диффузия и скачки.
t
/1
Рис. 3.3. Типичная реализация марковского процесса при нали-
t
чин только сноса и скачков.
Марковские процессы 87
3.6. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ИЗМЕНЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ НАЧАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ. ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Можно гораздо проще, чем в разд. 3.4, вывести уравнения, дающие временную эволюцию функции р(х, t\y, С) по отношению к начальным переменным у, t'.
Рассмотрим
l'm ir:,[p(x,t\y,t'+ At') ~ p(x,t\y,t’)] (3.6.1)
дг/-*о Af
= lim dz p(z, t' + At’\y, t’)[p(x, t\y,t’ + At')
Дг'—»o At
— p(x, t\z,t'+ At')\> (3.6.2)
где при записи второго члена в (3.6.2) использовано уравнение Чепмена — Колмогорова, а при записи первого учтен тот факт, что интегрирование дает \р(х, 11 у, t' + At').
Теперь необходимые предположения состоят в постулировании существования всех используемых производных, а также в требовании непрерывности и ограниченности функции р(х, t\y, /') по дг, t, t' для некоторой области t — t' > 6 > 0. Тогда можно записать
(3.6.1) = lim J dzp(z, t' + At'\y, t')[p(x, t\y, t') — p(x, t\z, ?')]. (3.6.3)
At J
Применяя метод, аналогичный использованному в разд. 3.4.1, выводим окончательное уравнение
dp(x,t\y,t’) dp(x,t\y,t') 1 dxp(x,t\y,t')
dt' ~ ~ ? А*У>') ^ T Г ЫУ>')
+ J dz W(z\y, t')[p(x7t\y, t') ~ p(x,t\z, t')]t (3.6.4)
которое будем называть обратным дифференциальным уравнением Чепмена — Колмогорова. В математическом отношении оно проще, чем соответствующее прямое уравнение (3.4.22). Подходящим начальным условием для обоих уравнений служит равенство
р(х, f|j>, t) = 8(х — у) для всех t, (3.6.5)
представляющее собой очевидный факт, что если в момент t частица находится в положении у, то плотность вероятности найти ее в тот же момент в точке х равна &(х — у).
88 Глава 3
Прямое и обратное уравнения эквивалентны друг другу. Так, решения прямого уравнения, подчиненные начальному условию (3.6.5) (или
(3.5.3)) и любым подходящим граничным условиям, дают, как отмечено в разд. 3.4.2, решения Чепмена — Колмогорова. Но эти последние, как только что показано, удовлетворяют обратному уравнению. (Различные граничные условия для уравнения Фоккера — Планка сопоставляются в разд. 5.2.4, 1.) Основное различие между прямым и обратным уравнениями заключается в том, какой набор переменных считается фиксированным. В случае прямого уравнения фиксируются СУ, t') и решения существуют при t ^ /', так что (3.6.5) — начальное условие для прямого уравнения. Для обратного уравнения решение существует при /' < /, так что, поскольку обратное уравнение описывает эволюцию системы по в этом случае (3.6.5) правильнее называть конечным условием.
В силу их эквивалентности как прямое, так и обратное уравнения могут быть полезны. Прямое уравнение позволяет более непосредственно получить значения измеряемых величин как функции прошедшего времени t и чаще используется в приложениях. Обратное уравнение большей частью применяется для нахождения среднего времени достижения границы или времени выхода за границу, ищется вероятность того, что в заданное время частица покинет заданную область.
з.7. СТАЦИОНАРНЫЕ И ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В разд. 1.4.3 встречалось понятие стационарного процесса, который описывает стохастическое движение системы, находящейся в устойчивом состоянии и имеющей вероятностные характеристики, не зависящие от того, когда они измеряются. Стационарность можно определять, требуя выполнение разных по силе условий. Однако мы закрепим термин «стационарный процесс» за строгим определением, согласно которому стохастический процесс X(t) называется стационарным, если процессы X(t) я X(t + е) обладают одинаковой статистикой для любого ?. Это эквивалентно утверждению, что все совместные вероятности инвариантны относительно сдвига во времени, т. е.
PiXЬ f 1 > Х2> tl > *3! ^3 > • • • > Хл> ?л)
= р(х,, t, + е; х2, h + е; х3, /3 + е; ...; х„, t„ + е), ' (3.7.1)
и, следовательно, все они — функции только разностей времен
В частности, единовременная плотность вероятности вообще не зависит от времени и может быть записана просто как />.(*), (3.7.2)
Марковские процессы 89
а двухвременная совместная вероятность может быть записана Р,{хи ti - f2;*2,0). (3.7.3)
