Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
dG(t)fdt = -A G(t) (3.7.63)
и
G(0) = °, (3.7.64)
откуда имеем
G(t) = ехр[-Аф. (3.7.65)
А это — теорема регрессии в ее простейшей форме. Подчеркнем опять, что она справедлива для марковских процессов со средними, которые подчиняются линейным эволюционным уравнениям, подобным уравнениям (3.7.59).
Для немарковских процессов такой простой расчет корреляционной функции невозможен. В этом случае приходится выполнять громоздкую процедуру вычислений, о которой дает представление формула (3.7.57).
Марковские процессы 101
3.8. ПРИМЕРЫ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
В этом разделе представлены для последующих ссылок некоторые основные решения для различных случаев дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова. Эти решения найдут широкое применение в последующем изложении.
3.8.1. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Процесс назван так в честь Винера, который всесторонне его исследовал. Этот процесс представляет собой решение уравнения Фоккера — Планка, обсуждавшегося в разд. 3.5.2, в котором присутствует только одна переменная И7(/), коэффициент сноса равен нулю, а коэффициент диффузии равен единице. Таким образом, уравнение Фоккера — Планка имеет в этом случае вид
Выполняя обратное преобразование Фурье, получаем решение уравнения (3.8.1):
(3.8.1)
Принимая во внимание начальное условие P(w, h I w0, t0) = 5(iv — w0) j
решаем (3.8.1) с помощью характеристической функции jj(s, 0 = | dw p(w, (| w0, (0) exp(isw),
(3.8.2)
(3.8.3)
которая удовлетворяет уравнению
(3.8.4)
откуда имеем
(3.8.5)
Из (3.8.2) следует начальное условие Ф{з, t0) = exp (i.s'vv0),
поэтому
(3.8.6)
P{w, t\w0, to) = [2n{t — r0)]~1/2 exp [—(w — w0)2/2(t — f0)] •
(3.8.7)
102 Глава 3
Рис. 3.4. Винеровский процесс: расплывание первоначально острого распределения p(wy t \ w0, с0) с течением времени
Это гауссовское распределение с параметрами
<^(0> = Wo (3.8.8)
<[W(t) - и'0]2> = t - t0, (3.8.9)
так что первоначальный острый пик распределения расплывается со временем, как изображено на рис. 3.4.
Винеровский процесс многих переменных определяется так:
W{t) = [W^t), W2(t), ... , Wn(t)\
и подчиняется многомерному уравнению Фоккера — Планка
(3.8.10)
~p(w,t\w0, t0) = у fko. to), (3.8.11)
решением которого служит
p(w, t\wa,t0) = [2 - ?o)]-/2 exp [- (h- - H’0)2/2(? - to)], (3.8.12)
т. e. многомерное гауссовское распределение с
(Щф = »0 (3.8.13)
И
W0 - и-о,] [Щ0 ~ И'0;]> = (f - t0)StJ. (3 8Л4)
Винеровский процесс с одной переменной часто называют просто броуновским движением, поскольку соответствующее ему уравнение
(3.8.1) в точности то же самое, что и дифференциальное уравнение
Марковские процессы 103
Рис. 3.5. Три полученные моделированием типичные реализации траектории винеров-ского процесса, демонстрирующие их разительную неповторяемость.
диффузии, которому, как показал Эйнштейн, подчиняется броуновское движение (что отмечалось в разд. 1.2). Однако эта терминология не является общепринятой.
В отношении винеровского процесса отметим следующее.
а) Нерегулярность траекторий
Хотя среднее значение переменной W(t) равно нулю, среднеквадратичное значение неограниченно возрастает при t — с». Это значит, что реализации траекторий tV(t) удивительно переменчивы. На рис. 3.5 приведено несколько типичных реализаций, имеющих общую начальную точку, чтобы наглядно проиллюстрировать чрезвычайную невос-производимость траекторий.
б) Недифференцируемость траекторий
Винеровский процесс — это диффузионный процесс, а значит, траектории lV(t) непрерывны. Однако они недифференцируемы. Рассмотрим вероятность события
(3.8.15)
104 Глава 3
В соответствии с найденной условной вероятностью (3.8.7) эта вероятность равна
и в пределе h — 0 обращается в единицу. Это значит, что неважно, какое значение к выбрать, — все равно \[W{t + h) — W(t)\/h I будет почти наверное больше этого значения, т. е. производная в любой точке почти наверняка бесконечна. Это находится в согласии с интуитивными представлениями, изложенными в разд. 3.4.2, и наглядно иллюстрируется модельными траекториями на рис. 3.5. Отмеченное свойство связано, конечно, с хорошо известным экспериментальным фактом, что броуновские частицы движутся крайне нерегулярно. Однако очевидно и то, что это идеализация. В самом деле, поскольку W(t) описывает положение броуновской частицы, ее скорость почти наверное бесконечна (что невозможно физически). Более реалистичной моделью броуновского движения служит процесс Орнштейна — Уленбека (разд. 3.8:4).
