Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
dlP(n,t\n',t')=Y,[W(n\m,t )Р(т, 11 и',/') - I«, О P(«, 11г')]. (3.5.5)
dp(z, t\y,t') dt
- S Jr {Mz,t I y, *')]
(3.5.6)
p(z, t\y, t) = S(z - y)
(3.5.7)
84 Г лава 3
Для малых At решение Фоккера — Планка будет еще иметь резко выраженный пик, и, следовательно, производные от Aj(z, t) vLBij(z, t) будут пренебрежимы по сравнению с производными от р. Таким образом, задача сводится к решению приближенного уравнения
dp(z,t\y,t’) „ и dp(z,4y,t') _ 1 , d2p(z,t\y,t')
-------gt---- = -S А,(У, t)-----------g2i + S у Btj(y, t ) dz-^- ,
(3.5.8)
i
где для малых t — l' мы пренебрегли также зависимостью в А( и ВtJ от t. При начальных условиях (3.5.7) нетрудно найти
p(z, t + A?|j% 0 = ?)]} 1/2[At]~I/2
1 fc ~ У ~ А(У> 0А{У№(У’ 0]~’fc ~ У - A(y, t)At]
2 At
x exp
(3.5.9)
Это не что иное, как гауссовское распределение с корреляционной матрицей В(у, t)At и средним значением у + А (у, t)At. Мы получили, что движение системы происходит с регулярным сносом со скоростью А (у, t), на который накладываются гауссовские флуктуации с корреляционной матрицей В(у, t)At, т.е. можно написать
y(t + At) = y(t) + A(y(t), t)At + n(t)Atlil, (3.5.10)
где <т(0) = 0, и (3.5.11)
<»/(0»/(0T> = ?{y, t). (3.5.12)-
Легко видеть, что описанная картина дает
1) траектории, которые всюду непрерывны, поскольку очевидно, что при At — 0 y(t + ДО — y(t);
2) траектории, не дифференцируемые ни в одной точке, вследствие члена с (At)l/1, имеющегося в (3.5.10).
Дальше, в гл. 4, мы увидим, что эвристическая картина, отвечающая уравнению (3.5,10), может быть сделана гораздо более точной и приводит к концепции стохастического дифференциального уравнения.
3.5.3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
Может оказаться, что в дифференциальном уравнении Чепмена — Колмогорова (3.4.22) только первый член ненулевой, тогда мы приходим к частной форме — уравнению Лиувилля:
dp(z,t\y,t') „ 3 г , ...
Марковские процессы 85
Уравнение такого типа рассматривается в классической механике1'.
Уравнение (3.5.13) описывает полностью детерминированное движение, т. е. если х(у, t) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения
d-^p = A[x(t), t] (3.5.14)
при начальном условии
x(ytt') = y, (3.5.15)
то решением уравнения (3.5.13) с начальным условием p(z, t'\y, О = 5(* - J0 будет
p(z,t\v t') = 5[г - Х(у, г)]. (3.5.17)
Доказа I ельство высказанного утверждения проще всего получить прямой подстановкой. Поскольку
-sir 05[z - х(у, о» (3.5.18)
i О - /
= Jr 0, f№ - х(у, О]} (3.5.19)
(3.5.16)
Ydz,
= -s \^Ах(у, /), - х(у, /)][ (3.5.20)
и, кроме того,
|-5[г - x(j>, г)] = -2^- 5U - х(у, 0]—- (3.5.21)
в силу (3.5.14) видим, что выражения (3.5.20, 21) совпадают. Итак, если частица находится в заданном начальном положении у в момент
С, то и дальше она остается на траектории, проходящей через эту точку и получаемой решением обыкновенного дифференциального уравнения (3.5.14).
11 В случае уравнения Лиувилля классической механики z представляет собой набор координат и импульсов механической системы, а вектор сносов A.(z, !) определяется Уравнениями Гамильтона dq^/dt = дН/др(<, dp /dt — —dH/dq, где H(q, р) — функция Гамильтона. При этом в отличие от общего случая (3.5.13) указанный вектор обязан Удовлетворять дополнительному условию ^ dA/dz, = 0 (теорема Лиувилля), которое
/
означает, что фазовый объем при движении сохраняется. — Прим. ред.
86 Глава 3
Следовательно, детерминированное движение, определяемое дифференциальным уравнением первого порядка вида (3.5.14), служит тривиальным случаем марковского процесса. Решение (3.5.17) есть, конечно, только частный случай процессов, аппроксимируемых уравнением типа (3.5.13), в которых член, приводящий к гауссовскому распределению, отсутствует.
3.5.4. ПРОЦЕССЫ ОБЩЕГО ВИДА
В общем случае ни одна из величин A(z, t), B(z, t) и (л: 1 z, t) не обязана обращаться в нуль. При этом получается процесс с траекториями, аналогичными показанным на рис. 3.2. Типичная траектория — кусочно-непрерывная линия, состоящая из частей, соответствующих диффузионному процессу с отличным от нуля сносом, на который накладываются флуктуации.
