Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
В противоположность этому, когда измеряются отдельные события (как, например, при подсчете числа животных), можно составить средние наблюдаемых величин очевидным способом:
**=47Е*(и). (2.5.1)
л=1
Числа Х(п) представляют собой конкретные наблюдаемые значения величины X. Следует ожидать, что, по мере того как число N стремится к бесконечности, величина XN приближается к среднему <Х)\ более того,
!im дг Z /№)] = f(X)N = (ДХУ) (2.5.2)
.V-0O п = \ N-+ со 1
и указанная процедура, если ее выполнить для всех функций /, определяет плотность вероятности р(х) величины X. Справедливость такой процедуры зависит от степени независимости последовательных измерений и обсуждается в разд. 2.5.2.
В том же случае, когда с помощью измерительной процедуры непосредственно определяются сами средние, как правило, нельзя измерить Х(п), и поэтому в общем случае определить f (X)N нельзя. Можно определить только f(XN) — совсем другую величину (за исключением того случая, когда функция/ линейна). Часто встречаются ситуации, при которых измеряемые величины связаны (с помощью некоторой теории) со средними значениями определенных функций. Однако надеяться измерить, например, среднее значение произвольной функции от числа прошедших в проводнике электронов — совершенно
Понятия теории вероятностей 57
безнадежное дело, поскольку не подсчитываются конкретные числа электронов, прошедших за различное время. Среднее же значение измерить можно, можно измерить даже среднеквадратичное число электронов, хотя доступные измерительные методы и не являются прямыми.
2.5.1. МОМЕНТЫ И КОРРЕЛЯЦИИ
Представляют интерес моменты {Хп>, поскольку часто именно их легко рассчитать. Плотности вероятностей всегда должны стремиться к нулю при дг — ± оо, и легко понять, что высокие моменты говорят только о свойствах плотностей при больших значениях X. На практике наиболее важными величинами являются первые и вторые моменты. Для переменной X дисперсия определяется выражением
D {X} = {(т[А']}2 = <[ДГ- <*>]*> , (2-5.3)
и, как хорошо известно, дисперсия D(X) или квадратный корень из этой величины, называемый среднеквадратичным отклонением а[Х], служат мерами степени отклонения величины X от среднего значения <*>.
Для случая нескольких переменных определим корреляционную матрицу
<ДГ;, Я0> = <(ЛГ, - <Г;» (Xj - <r,»> ее (XtXj) - (X'XXj) • (2.5.4)
Очевидно, что
(Xt, Х-) =. D {Х;}. (2.5.5)
Если переменные попарно независимы, то корреляционная матрица диагональна.
2.5.2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
В качестве применения предыдущих понятий исследуем следующую модель измерения. Предположим, что при jV-кратном измерении одной и той же случайной величины получается набор значений X(п) (п = 1,2,..., N). Поскольку все они — результаты последовательных измерений одной и той же величины, можно считать, что для различных п величины Х(п) имеют одинаковые распределения вероятности; при этом, однако, не предполагается, чтоХ(п) не зависят друг от друга. Тем не менее если корреляционная матрица (Х(п), Х(т)) убывает
58 Глава 2
достаточно быстро при \п — т\ — оо, то, вводя среднее арифметическое
= ^ Е х(п), (2.5.6)
можно показать, что
lim XN = <^> . (2.5.7)
.V-*oo
Ясно, что
<*„> = <*>. (2.5.8)
Рассчитаем теперь дисперсию величины Л'д, и докажем, что при опре-
деленных условиях она стремится к нулю при N —¦ оо. Имеем
<Mv> - (XNy = ± Е <*„, *„> . (2.5.9)
л, т = 1
Если <Л'П, Л'т> спадает достаточно быстро при Iп - тI — оо, то получим
lim (D {Xд.}) = 0 (2.5.10)
Лг-«
так что lim/v_00A'/v представляет собой детерминированную величину, равную (X). Эта величина является пределом в среднеквадратичном (см. ниже).
Для <Хп, Хт) могут быть выбраны две аппроксимации:
а) (Х„, Хт) ~ Кл'—< (и. < 1) (2.5.11)
в этом случае имеем
nw * _2к а™ - № - п-;,\ к .. ......
Л'? /V2 ( (/ _ 1)2 ] дг (2.5.12)
б) (Хп, Хт) ~ |я — /м|_1 (пфт) (2.5.13)
при этом приближенно находим
D{*„} -^logtf-(2.5.14)
В обоих случаях D [ XN) 0. Скорость сходимости при этом сущест-
венно различна. Интерпретируя пят как моменты времени, для ко-
Понятия теории вероятностей 59
торых были проведены измерения, можно видеть, что допустимо даже весьма медленное убывание функции корреляции. Закон больших чисел может быть сформулирован многими способами, которые удачно суммированы Папулисом [2.2]. Еще более точный результат дает центральная предельная теорема, которая устанавливает вид предельной функции распределения величины xN- <X> (см. разд. 2.8.2).
