Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
<В€=Л( 25). (2.1.4)
А вот более интересный пример. Допустим, что определен ансамбль событий А (г, AV), при которых молекула находится в элементе объема AV с центром в точке г. В этом случае практическое значение использования терминов теории множеств становится особенно наглядным. Действительно, можно определить, расположена ли молекула в окрестности AV точки г, но определить, находится ли данная частица точно в точке г, невозможно. Таким образом, если определено событие со (у), состоящее в том, что молекула находится в точке у, то имеет смысл спросить, выполняется ли соотношение
ы(у) <= A(r, AV), (2.1.5)
и приписать множеству А (г, AV) определенную вероятность, которую следует интерпретировать как вероятность выполнения условия (2.1.5).
2.2. ВЕРОЯТНОСТИ
Большинство людей обладает интуитивным представлением о вероятности, основанным на их собственном опыте. Однако точная формулировка интуитивных представлений сопряжена с трудностями, поэтому обычно используется абстрактный аксиоматический подход к построению теории вероятностей, в котором мера вероятности Р(А) приписывается каждому множеству А в пространстве событий, включая
множество всех событий: О, (2.2.1)
пустое множество: ф. (2.2.2)
Чтобы можно было определить вероятность, рассматриваемые множества событий должны образовывать систему (известную математикам как о-алгебра), замкнутую по отношению к двум операциям теории множеств — объединению (U) и пересечению (П).
Понятия теории вероятностей 47
2.2.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АКСИОМЫ
Вероятность Р (А) множества событий А вводится как функция от А, удовлетворяющая следующим вероятностным аксиомам:
1 )Р(^А) > 0 для всех А; (2.2.3)
2)/>(П)=1; (2.2.4)
3) если Ai (i — 1, 2, 3, ...) — конечная или счетная последовательность непересекающихся множеств, т. е. таких множеств, что
А, П Aj = 0 для всех i ф j, (2.2.5)
то
Р (и А) = ^ P(At). (2.2.6)
Это все необходимые аксиомы. Как следствия получаются следующие соотношения:
4) если А — дополнение А, т.е. множество всех событий, которые не входят в А, то
Р(А) = 1 - Р(А), (2.2.7)
5) (v) Р(0) = 0. (2.2.8)
2.2.2. СМЫСЛ Р(А)
Без интуитивных соображений невозможно соотнести теорию вероятностей с реальностью. Вероятность Р(А), определенная приведенными выше аксиомами, совпадает с интуитивным понятием вероятности того, что произвольное событие со, т. е. событие со, выбранное наугад, удовлетворяет условию шеА. Сформулируем это более подробно. Если событие берется из полного множества О наугад N раз, то относительная частота события, удовлетворяющего условию со е А, стремится к Р(/1) по мере того, как число проведенных испытаний N стремится к бесконечности. Можно считать, что N выборок произведено последовательно одна за другой (независимые подбрасывания одной игральной кости) или одновременно (N игральных костей бросают «независимо» в один и тот же момент). Все определения такого рода следует отнести к интуитивным, поскольку в них используются неопределимые понятия, такие, как «случайно», «наугад», «независимо». Отказавшись от того, что мы здесь называем интуитивными соображениями, и аксиоматизировав вероятность, Колмогоров [2.3] тем
48 Глава 2
самым расчистил путь для развития строгой математической теории вероятностей. Однако остались проблемы, обусловленные, с одной стороны, желанием понимания на интуитивном уровне, а с другой — возникающим при этом замкнутым кругом в определении понятий. Аксиоматическую вероятность проще всего трактовать как некий формальный метод обращения с вероятностями в соответствии с аксиомами. Но для того чтобы применить этот подход, нужно указать пространство, на котором определяется вероятность, и приписать его множествам вероятностную меру Р. Это так называемая априорная вероятность, т. е. вероятность, которая просто приписывается. Прикладные науки изобилуют примерами такого рода априорных вероятностей. Так, в равновесной статистической механикб одинаковым объемам фазового пространства приписываются равные вероятности. В объяснении Эйнштейна броуновского движения вводится плотность вероятности ф (Д), описывающая вероятности «скачка» Д из точки х в момент t.
Задачи применения теории вероятностей состоят в следующем:
1) выбрать некоторое множество событий, приписать им правдоподобные вероятности и, учитывая структуру вероятностного пространства, получить результаты; 2) с помощью устройства, построенного для измерения величин в соответствии с этими априорными вероятностями, получить экспериментальные результаты.