Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 23

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 185 >> Следующая


<В€=Л( 25). (2.1.4)

А вот более интересный пример. Допустим, что определен ансамбль событий А (г, AV), при которых молекула находится в элементе объема AV с центром в точке г. В этом случае практическое значение использования терминов теории множеств становится особенно наглядным. Действительно, можно определить, расположена ли молекула в окрестности AV точки г, но определить, находится ли данная частица точно в точке г, невозможно. Таким образом, если определено событие со (у), состоящее в том, что молекула находится в точке у, то имеет смысл спросить, выполняется ли соотношение

ы(у) <= A(r, AV), (2.1.5)

и приписать множеству А (г, AV) определенную вероятность, которую следует интерпретировать как вероятность выполнения условия (2.1.5).

2.2. ВЕРОЯТНОСТИ

Большинство людей обладает интуитивным представлением о вероятности, основанным на их собственном опыте. Однако точная формулировка интуитивных представлений сопряжена с трудностями, поэтому обычно используется абстрактный аксиоматический подход к построению теории вероятностей, в котором мера вероятности Р(А) приписывается каждому множеству А в пространстве событий, включая

множество всех событий: О, (2.2.1)

пустое множество: ф. (2.2.2)

Чтобы можно было определить вероятность, рассматриваемые множества событий должны образовывать систему (известную математикам как о-алгебра), замкнутую по отношению к двум операциям теории множеств — объединению (U) и пересечению (П).
Понятия теории вероятностей 47

2.2.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АКСИОМЫ

Вероятность Р (А) множества событий А вводится как функция от А, удовлетворяющая следующим вероятностным аксиомам:

1 )Р(^А) > 0 для всех А; (2.2.3)

2)/>(П)=1; (2.2.4)

3) если Ai (i — 1, 2, 3, ...) — конечная или счетная последовательность непересекающихся множеств, т. е. таких множеств, что

А, П Aj = 0 для всех i ф j, (2.2.5)

то

Р (и А) = ^ P(At). (2.2.6)

Это все необходимые аксиомы. Как следствия получаются следующие соотношения:

4) если А — дополнение А, т.е. множество всех событий, которые не входят в А, то

Р(А) = 1 - Р(А), (2.2.7)

5) (v) Р(0) = 0. (2.2.8)

2.2.2. СМЫСЛ Р(А)

Без интуитивных соображений невозможно соотнести теорию вероятностей с реальностью. Вероятность Р(А), определенная приведенными выше аксиомами, совпадает с интуитивным понятием вероятности того, что произвольное событие со, т. е. событие со, выбранное наугад, удовлетворяет условию шеА. Сформулируем это более подробно. Если событие берется из полного множества О наугад N раз, то относительная частота события, удовлетворяющего условию со е А, стремится к Р(/1) по мере того, как число проведенных испытаний N стремится к бесконечности. Можно считать, что N выборок произведено последовательно одна за другой (независимые подбрасывания одной игральной кости) или одновременно (N игральных костей бросают «независимо» в один и тот же момент). Все определения такого рода следует отнести к интуитивным, поскольку в них используются неопределимые понятия, такие, как «случайно», «наугад», «независимо». Отказавшись от того, что мы здесь называем интуитивными соображениями, и аксиоматизировав вероятность, Колмогоров [2.3] тем
48 Глава 2

самым расчистил путь для развития строгой математической теории вероятностей. Однако остались проблемы, обусловленные, с одной стороны, желанием понимания на интуитивном уровне, а с другой — возникающим при этом замкнутым кругом в определении понятий. Аксиоматическую вероятность проще всего трактовать как некий формальный метод обращения с вероятностями в соответствии с аксиомами. Но для того чтобы применить этот подход, нужно указать пространство, на котором определяется вероятность, и приписать его множествам вероятностную меру Р. Это так называемая априорная вероятность, т. е. вероятность, которая просто приписывается. Прикладные науки изобилуют примерами такого рода априорных вероятностей. Так, в равновесной статистической механикб одинаковым объемам фазового пространства приписываются равные вероятности. В объяснении Эйнштейна броуновского движения вводится плотность вероятности ф (Д), описывающая вероятности «скачка» Д из точки х в момент t.

Задачи применения теории вероятностей состоят в следующем:

1) выбрать некоторое множество событий, приписать им правдоподобные вероятности и, учитывая структуру вероятностного пространства, получить результаты; 2) с помощью устройства, построенного для измерения величин в соответствии с этими априорными вероятностями, получить экспериментальные результаты.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed