Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
= =- f da>e 1ШТ2R кТ ’
2л _-L
= 2R кТЬ(т), (1.4.51)
Это означает, что как бы ни была мала разность времен т Ф 0, E(t + т) и Е(т) не коррелируют. Такой результат, конечно, является прямым следствием постоянства спектра. Типичная модель S (ш), имеющая почти платообразный вид, есть
S(w) = Tr~'RkT/(u2Tc2 + 1). (1.4.52)
Если w < т~\ то это почти константа. Преобразование Фурье, кото-
рое в этом случае может быть вычислено явно, дает
(E(t + т)?(0 > = (R кТ1тс) ехр (—т/тс). (1.4.53)
Введение 43
Видим, что автокорреляционная функция исчезает только при т > тс, причем время тс называется временем корреляции флуктуаций напряжения (см. рис. 1.5). Следовательно, представление корреляционной функции как <5-функции — это идеализация, справедливая только при достаточно крупномасштабной временной шкале.
Отметим, что приведенные рассуждения очень напоминают предположение Эйнштейна, касающееся броуновского движения, а также свойства флуктуационных сил, введенных Ланжевеном. Белый шум как идеализация будет играть немалую роль в этой книге. Однако, точно так же, как было показано, что флуктуационный член, возникающий в стохастическом дифференциальном уравнении, не является обычным дифференциалом, дальше мы убедимся, что и с дифференциальными уравнениями, включающими в качестве возмущающего воздействия белый шум, нужно обращаться с большой осторожностью. Подобные уравнения естественным образом возникают в произвольной флуктуирующей системе, и с помощью правил Стратоновича можно устроить так, чтобы были применимы обычные правила вычислений, которые пригодны для гладких функций. Имеется и другая возможность: отказаться от обычных расчетов и использовать технику Ито, имеющую не слишком большие отличия (так, она весьма напоминает расчеты, произведенные для дробового шума). Все эти вопросы более полно будут обсуждаться в гл. 4.
Выше уже отмечалось, что белый шум не существует как реальный физический процесс, и в реальных ситуациях свойственные ему сингулярности не возникают. Однако он играет фундаментальную роль как
Рис. 1.5. Корреляционная функция (сплошная линия) и соответствующая спектральная плотность (штриховая линия) для малого времени корреляции, соответствующего почти постоянной спектральной плотности (а) и большого времени корреляции, отвечающего быстро убывающей спектральной плотности (б).
44 Глава 1
в математическом, так и в физическом отношениях, поскольку представляет собой идеализацию очень многих происходящих на самом деле процессов. Несколько необычные правила, которые мы сформулируем для расчетов, оперирующих с белым шумом, не так уж трудны в обращении и значительно легче, чем любой метод, оперирующий только с реальными шумами. Более того, даже в тех ситуациях, когда белый шум непосредственно не дает хорошей аппроксимации, часто процессы могут быть сведены к белому шуму косвенно. В этом отношении белый шум представляет собой тот пункт, исходя из которого можно построить разнообразные стохастические описания, и поэтому он играет фундаментальную роль для предмета данной книги.
2
Понятия теории вероятностей
В предыдущей главе мы использовали вероятностные представления без каких-либо определений. Для того чтобы более точно сформулировать теоретические положения, необходимо прежде всего точно определить основные понятия. Итак, цель этой главы — дать основные понятия теории вероятностей и представить ряд важных результатов. Здесь не приводится полное изложение математической теории вероятностей, поскольку читатель может найти это в обычных учебниках математики, таких, например, как книги Феллера [2.1], Папули-са [2.2] и Гнеденко [2.5].
2.1. СОБЫТИЯ И МНОЖЕСТВА СОБЫТИЙ
Нам нужны самые общие обозначения, для того чтобы иметь возможность описывать вероятностным образом различные случаи, с которыми приходится иметь дело. Например, может потребоваться рассмотреть случай, когда в некоторой области пространства находится
6,4-1014 молекул, или случай, когда броуновская частица расположена в некоторой точке пространства х, или, возможно, случай пребывания 10 мышей и 3 сов в заданном районе леса.
Все эти случаи представляют собой конкретные реализации событий. Абстрактно говоря, событие есть просто элемент определенного пространства, который в наиболее распространенных на практике случаях может характеризоваться вектором с целочисленными компонентами
Л = (Иь «2, «3 •••)
или вектором, составленным из действительных чисел,
X = (хь х2, Х3 ...).
Размерность этбго вектора может быть произвольной.
Удобно принять язык теории множеств, ввести понятие множест-
(2.1.1)
(2.1.2)
46 Глава 2
ва событий и использовать запись
ше/1 (2.1.3)
для обозначения того, что событие со принадлежит множеству событий А . Например, можно рассмотреть множество событий А (25) в некоторой экологической популяции, состоящей из не более чем 25 животных. Ясно, что событие со, заключающееся в том, что в наличии есть 3 мыши и тигр, а других животных нет, удовлетворяет соотношению