Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 24

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 185 >> Следующая


Отметим, что структура вероятностного пространства весьма существенна, особенно в том случае, когда пространство событий осложнено включением понятия времени. Такое расширение делает эффективное вероятностное пространство бесконечномерным, поскольку теперь события можно определять следующим образом: «частица была в точках хп в моменты времени tn, п - 0, 1, 2, ... , оо».

2.2.3. СМЫСЛ АКСИОМ

Всякое интуитивное представление о вероятности предполагает вероятность положительной и вероятность множества, включающего любые события, равной 1 независимо от того, что подразумевается под словом «любое». Таким образом, аксиомы 1 и 2 понятны. Труднее понять аксиому 3. Предположим, что имеются всего два множества^ и В к А П В = ф, т. е. нет событий, принадлежащих как А, так и В. Поэтому вероятность того, что е A U В, равна вероятности того, что и е А или мей. По интуитивным представлениям эта вероятность равна сумме вероятностей, т. е.

Р(А U В) = Р {(ш е А) или (со <= В)} = Р(А) + Р(В).

(2.2.9)
Понятия теории вероятностей 49

Заметим, что это отнюдь не доказательство, а просто пояснение.

Обобщение на случай любого конечного числа непересекающихся множеств очевидно, однако возможность обобщения на случай только счетного числа множеств требует некоторых разъяснений. Расширение на случай бесконечного числа множеств должно производиться при определенных ограничениях. Дело в том, что имеются множества, помеченные непрерывным индексом, например когда х — положение в пространстве. Вероятность того, что молекула находится в множестве, состоящем из единственного элемента л:, равна нулю. Вероятность же находиться ей в области R конечного объема не равна нулю. Область R представляет собой объединение множеств типа [jcJ , но не счетного числа множеств. Поэтому аксиома 3 в этом случае неприменима, и вероятность нахождения в области R не равна сумме вероятностей1* попадания в одно из множеств (л:].

2.2.4. СЛУЧАЙНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие случайной переменной весьма удобно и играет центральную роль в этой книге. Допустим, что имеется абстрактное вероятностное пространство событий, обозначаемых через х. Тогда можно ввести случайную переменную F(x) — функцию х, которая принимает определенные значения для каждого х. В частности, представляет интерес тождественная функция, обозначаемая через Х(х), которая задается равенством

Х(х) = х. . (2.2.10)

Отметим, что в этой книге прописные буквы, как правило, обозначают случайные переменные, а строчные — значения этих функций, когда их необходимо различать.

Часто бывает, что имеется некоторое совершенно другое, фоновое, вероятностное пространство П со значениями со и говорится о некоторой функции X(со), причем в дальнейшем явное упоминание со опускается. Такая ситуация может возникнуть по двум причинам:

1) события задаются только значениями величины х, т. е. мы отождествляем х и со;

2) неявные события со слишком сложно описать или иногда даже узнать.

Если формулу (2.2.6) считать применимой в случае континуального числа событий, то в результате суммирования получим неопределенность типа 0- оо, поскольку вероятность точки равна нулю, а число их бесконечно. Условие счетности в аксиоме 3 нужно, чтобы избегнуть данной неопределенности. — Прим. ред.
50 Г лава 2

Например, в случае молекулы, находящейся в жидкости, нам следовало бы интерпретировать со как величину, способную задать положения, импульсы и ориентацию всех молекул в данном объеме жидкости; однако записать это слишком трудно, а часто в этом и нет необходимости.

Большое преимущество введения понятия случайной переменной заключается в простоте обращения с функциями случайных переменных, например X2, sin(a-X) и т. д., а также в простоте вычисления их распределений и средних. Далее, вводя стохастические дифференциальные уравнения, можно также рассматривать изменения случайных переменных во времени аналогично тому, как это делается при классическом описании детерминированных систем посредством дифференциальных уравнений.

2.3. СОВМЕСТНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ

2.3.1. СОВМЕСТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Как мы объяснили в разд. 2.2.3, случай взаимоисключающих событий связан с представлением о непересекающихся множествах. Рассмотрим теперь вероятность Р(А П В), где пересечение Л П В — непустое множество. Событие со, удовлетворяющее условию шеА, будет принадлежать пересечению о> е А П В только тогда, когда выполнено также условие сое В. Таким образом,

Р(А П В) = Р {(ы е А) и (со В)}, (2.3.1)

причем/*(А П В) называется совместной вероятностью того, что событие со содержится в обоих классах событий, или, что эквивалентно, того, что реализуются сразу два события: ссе А и ссе В. Совместная вероятность естественно возникает в контексте данной книги двумя путями:

1) Когда событие описывается вектором: например имеется т мышей и п тигров. Вероятность этого события есть совместная вероятность события ([т мышей и произвольное количество тигров] и [п тигров и произвольное количество мышей]). В этом смысле в векторном случае всегда подразумеваются совместные вероятности.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed