Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р{А1х П А,г ... А,..) = P(Atl)P(Ai2)... Р(А,к). (2.3.12)
Важно потребовать факторизацию вероятности для всех возможных комбинаций /2, ... , ik, как указано в (2.3.12). Например, в случае трех множеств .4, вполне возможно выполнение требования
Р(А, П Aj) - P(Al)P(AJ) (2.3.13)
для всех различных / и у, а также (рис. 2.1) требования
А1 П А2 = А 2 П А3 — А3 П AL .
При этом имеем
Р(АХ п А2 П = Р(Аг П А3 П, Ау) = Р(Л2 П А3) = Р(А2)Р(А3)
Ф P(A,)P(A2)P(A3). (2.3.14)
Видно, что принадлежность ше/12ише/13в данном случае с необходимостью влечет за собой принадлежность weAv В этом смысле события, очевидно, не независимы.
Рис. 2.1. Статистическая независимость в парах (но не в тройках) множеств. Все три множества типа А. П At находятся посередине. С помощью подходящего выбора вероятностей можно получить Р(А. Л Aj) = P(A.)P(Aj,).
54 Глава 2
Случайные переменные Хх, Х2, Хг, ... будут называться независимыми, если для всех множеств видаЛ, = (множество*, удовлетворяющих условию aj ^ аbj) события Хх е А ,, Х2 е Л 2, Х3 е А 3, ... независимы. Это означает, что все значения данной переменной Х( предполагаются независимыми от значений, принимаемых другими переменными Хг
2.4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
Среднее значение случайной переменной R (ш), для которой число возможных реализаций счетно, дается выражением
(R) = 2 Р(со)Я(со), (2.4.1)
СО
где Р(ш) означает вероятность множества, содержащего единственное событие и. В случае непрерывной случайной величины аксиомы вероятности позволяют определить функцию плотности вероятности р{и>), такую, что если А (шп, du0) представляет собой множество
(соа < со < со0 -f da>0), (2.4.2)
то
p(co0)do)0 = Р[А{со0, dcu0)] (2.4.3)
= р(о:>0) dco0). (2.4.4)
Последнее обозначение часто используется математиками. Прекрасное пояснение приведенным формулам дано в книге Феллера [2.1]. В случае непрерывной случайной величины имеем
<(R} = J dm R(co)p(co) . (2.4.5)
Как отмечено в разд. 2.2.4, символ R сам можно использовать для обозначения события, поэтому запишем так:
<Я> = J dR Rp(R), (2.4.6)
что мы часто и будем делать. Очевидно, что p(R) как функция R и р(ш) как функция ш — разные функции, точнее
p(R0)dR0 - - P[R0 < R < R0 + dR0)].
(2.4.7)
Понятия теории вероятностей 55
2.4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ЧЕРЕЗ СРЕДНИЕ
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Допустим, что для любой функции f(R) известно среднее
V{R)> = $dRf(R)p(R),
(2.4.8)
тогда известна р (R). Доказательство получим, выбрав
f(R) = 1 при R0 < R < Ro + dR0
= О в противном случае.
Поскольку иногда легче оперировать со средним произвольной функции, чем с плотностью вероятности, то указанный факт при случае будет использоваться в книге.
2.4.2. МНОЖЕСТВА НУЛЕВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Если существует плотность p(R), то вероятность того, что R лежит в интервале (R0, R0 + dR), стремится к нулю вместе с уменьшением dR, Следовательно, вероятность того, что R в точности принимает значение R0, равна нулю. Аналогично и для любого другого значения.
Таким образом, существуют множества S(Rj), каждое из которых содержит только одну точку и имеет нулевую вероятность. Из третьей аксиомы вероятности следует, что любое счетное объединение таких множеств, т. е. любое множество, содержащее только счетное число точек (например, все рациональные числа), имеет нулевую вероятность. В обшей формулировке все равенства теории вероятно стей, записанные для случайных событий или величин, в лучшем случае верны только «почти наверное», т. е. они могут не выполняться на множестве нулевой вероятности. Наоборот, если говорят, например,
X = Y (с вероятностью 1), (2.4.9)
то это отнюдь не то же самое, что сказать
Конечно, если теория имеет отношение к действительности, то события, обладающие нулевой вероятностью, не происходят.
В частности, отметим, что результат предыдущего раздела, если его проанализировать внимательно, означает только, что мы знаем p(R) с вероятностью 1 при условии, что <J(R)> известно для всех f(R).
X(R) = У(Л) для всех R.
(2.4.10)
56 Глава 2
2.5. СРЕДНИЕ
Вопрос о том, что именно измерять в вероятностной системе, нетривиален. Практически могут измеряться отдельные значения случайной переменной (число животных определенного вида в заданном районе в данный момент времени; электрический ток, проходящий через некоторый элемент цепи в каждом из большого числа повторений этой цепи, образующих статистический ансамбль, и т. д.) или же, при другом способе измерения, измерительная процедура может автоматически конструировать какое-либо среднее. Например, чтобы измерить электрический ток, измеряется перенесенный электрический заряд и делится на прошедшее время. Это дает значение среднего числа электронов, перенесенных в единицу времени. Важно отметить, что существенная особенность второго способа измерения состоит в том, что обычно доступно измерению только ограниченное число средних значений, так, например, более высокие моменты измерить нельзя.
