Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Q='VrvYvW+1/3 YA, (64)
сл
где /Vv= V2E^fxx — дуальный тензор Яно—Киллинга. Этот интеграл был впервые указан в работе [298] (см. также [299], где лостроены интегралы движения более общего вида).
Покажем, что для метрики, не зависящей от координат вдоль направлений, задаваемых векторным полем ^ (в этом случае контравариантные компоненты поля g*1 постоянны), производные Ли (33) превращаются в операторы частного дифференцирования вдоль ^tl (умноженные на единичную матрицу). Для этого выделим в (33) частную производную и подставим явное выражение (24) для спинорной связности, а затем преобразуем второй член в (33) с учетом уравнений Киллинга для gt1
JZ5 = 1?-1/4 (Л** + УІ Ya) Sli- 1/4 Y11YtU- (65)
В случае если компоненты g" не зависят от координат и метрика не зависит от координат вдоль g", в этой формуле отлично от ну-.ля лишь первое слагаемое, что и доказывает утверждение.
Получение явного выражения оператора Q (64) для случая рассматриваемой метрики требует громоздких вычислений. Результат имеет вид
Q = ( — iacos6(A— у* + р* + іеЛп); — г (б* + ?*—т* + іеЛт.)\.
41 \ r(o-f ? + ieAm); ia cos 0 (D—p* + іеЛ,) )'
Q = / — ia cos 6 (D —p + ieAt); — r (6* + ?* + ieAm*) \ ,fifi4 V2 \ r(6 + ?—х + іеЛт); ia cos 0 (A + p—у + ieAn) /'
Разделение переменных
Уравнение Дирака (43) можно рассматривать как уравнение на собственные функции для оператора (47), принадлежащие -собственному значению —ip,. Потребуем, чтобы эти функции одновременно были собственными для коммутирующего с ним оператора (66)
Qx(3=?, (67) § 20." МАССИВНОЕ ПОЛЕ co СПИНОМ 1/2 .
257
где через X обозначены собственные значения, физический смысл которых выяснится ниже. Построим линейную комбинацию операторов (47) и (66)
N1 = P1 (Q-I) -гу, P1= (J JjJ, (68)
где оз — матрица Паули. Подставляя сюда явные выражения (47) и (66), нетрудно убедиться в том, что все операторы б и б* в ней взаимно уничтожаются и результирующая система уравнений = содержит только радиальные операторы:
(D— р + ieAt) E = p/V2-(іцг —X) G,
(A+\i—y + ieAn)F = plV2-(inr + X)H,
(Л —Y* + Ц* + ieAn) G = р7/2. (щг + Х)Е,
- ~ (Ь9)
(D—р* + ieA[) H = p*/J/2 • (іцг —X) F.
Аналогичным образом можно построить комбинацию, операторов (47) и (66), не содержащую радиальных операторов
Nt = P2 (Q-X) + ia COS 0у, P2 = (J. OJ . (70)
Результирующая система уравнений для компонент дираковского спинора -ф имеет вид
(б* + р* —T + ieAm.) H = р* //2 • (X + |дa cos 6) Е,
(б + р + ieAm) G = p*lV2-(—X + |даcos 6) F,
(б* + р* + іеАт.) F = РіУІ-(X + ца cos Є) G1
(б + р —T + іеАт) E = PlVH¦ (— X + |да cos Є) Н.
Учитывая, что производные Ли вдоль полей Киллинга имеют в качестве собственных функций ехр(—mt + irmр), ищем решение системы из восьми уравнений (69), (71) в виде
E = —рlV2SE (6) Re (Г) е~ш+1тф , F = HVK Sf (6) Rf (Г) ,
G=-IIVTr Sa (6) R0 (г) , H = PVV^Sh (6) Rh (Г) е~ш+1т(р.
(72)
Из системы радиальных уравнений (69) получаем два уравнения для R и R', причем R=Re', R' = Ro; Se = S0', Sf=Sh:
- VTr 2$R' = (Х + іцг) R, VTr B0R = (-Х + іцг) R' (73)
Э Д. в. Гальцов 258
vii. массивные поля около черных дыр
и точно такую же систему для Rh=R и Rf=R'. Аналогично из системы угловых уравнений (71) получаем уравнения для пары S, S', причем S = Sf, S' = Se, Rh=Re, Rg = Rf,
Д1/2 S = (X + ца cos 0) S', -VrKe ? t/z S' = (X—ixa cos 0) S (74)
и точно такую же систему для Sh=S и Sa=S'. В формулах (73), (74) операторы определены согласно (19.10). Итак, мы приходим к следующим соотношениям между радиальными и угловыми частями компонент спинора:
R a Re = RH, R' = R0 = Rf, S = Sf = Sh, S'=S0 = Se. (75)
Именно такие соотношения были предложены ad hoc Чандрасека-ром [289, 2] и использованы в последующих работах [290—292] для разделения переменных. Проведенный анализ раскрывает смысл анзаца Чандрасекара и дает интерпретацию константы разделения X как собственного значения оператора (66) (по этому поводу см. также [300]).
При а = 0 система угловых уравнений сводится к уравнениям (Д.7), (Д.8) для спиновых сферических функций. С другой стороны, если еР = 0, то разделение переменных можно осуществить с помощью шаровых спиноров, характеризующихся значениями орбитального момента /, полного момента / = /±1/2 и его проекции т. Сравнение показывает, что между X и / имеет место соотношение
?=/(/+1)-/(/+1)+1/4, (76)
причем случай /=/+1/2 отвечает положительным X=I +1, / = 0, 1, 2, . . . , а случай / = /—1/2 — отрицательным X= —/, / =
= 1, 2.....Соответствующие функции таковы: S1= 1/2Sjm, Sx =
= SignX-I Z2Sjm.
Записывая системы уравнений вида (74) для собственных значений Xi и "Лг и умножая каждое из них на угловую функцию с другим собственным значением, после некоторых преобразований получаем соотношение
л
(X1-X2) ^ (Sx1Sx2 + Sx1Sx2) Sin 0d0 = о
л
= Г -4- [/Д~е sin 0 (Sx1Sx2-Sx2Sx1)] de = 0, (77)
J а 0 о
в котором равенство нулю следует из условия регулярности функций на границах интегрирования. Отсюда следует, что двухком-понентные функции § 20. массивное поле со спином
