Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Нулевые фермионные моды для монополя т'Хоофта—Полякова шозникают благодаря существованию «безбарьерных» решений радиальной части уравнения Дирака, аналогичных рассмотренным выше при обсуждении испарения дайона. Такие моды существуют и для черных дыр, обладающих магнитным зарядом, и, как было ¦обращено внимание в работе [245], это могло бы приводить к аналогичным выводам о фермионной структуре для черных дыр. Покажем, однако, что такие решения в случае черных дыр, хотя и существуют и всюду регулярны, не могут быть интерпретированы в духе Джекива—Ребби, так как соответствующий нормировочный интеграл расходится.
Рассмотрим радиальные уравнения (73) при a=Q=A = 0 для собственного значения X = O (угловые функции тогда определяются «формулами (104))
VKr^- = WrR', yS;JBL= -щгЯ. (119)
дг дг
Нетрудно убедиться в том, для существуют убывающие на бесконечности и регулярные на горизонте событий точные решения •системы (119)
,(118) 270
VII. МАССИВНЫЕ поля ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР-
R = R' = (120)
где введена переменная ? = J rdr ДГ1/2. Такие решения регулярны на горизонте, если только функция Ar не имеет в этой точке двойного нуля, что имеет место для экстремальной-рейсснер-норд-стремовской дыры. Подставим полученные решения в: нормировочный интеграл
OO
j ф Vdsx =-4=- j ехр (— 2ц?) dr*. (121>
—00
При г*—э—оо переменная г остается конечной, поэтому интеграл (121) расходится на нижнем пределе. Интересно отметить, чта аналогичный интеграл для кирального заряда остается конечным
Q5 = -(I-PW)-^. (122>
2yt
§ 21. МАССИВНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
Заканчивая обсуждение теории массивных полей в окрестности черных дыр, рассмотрим . комплексное (заряженное) векторное поле Vll на фоне электровакуумного решения типа D. Будем считать, что взаимодействие Vll с гравитационным полем носит минимальный характер, т. е. полевые уравнения являются обще-ковариантным обобщением соответствующих уравнений в пространстве Минковского. Что же касается взаимодействия Vll с электромагнитным полем фона, то, как известно, в современных калибровочных теориях (в частности, теории электрослабого-взаимодействия) оно характеризуется, помимо электрического заряда е, еще одним параметром, обозначаемым ниже у, задающим-аномальный магнитный момент векторной частицы. Соответствующий лагранжиан получается из стандартного лагранжиана Прока добавлением полной дивергенции уVu(VtliVv]* +к с.) и последующим удлинением производных:
if = —1 + [I2VvVv*—IeyFiivVW, (1>
где
Wiiv = Vti Vv - V V^ = Vvjtl- Vltv + 2IeAiilVv) (2>
СЛ
обобщенный бивектор поля, Vh= Vh+^-^h — удлиненная ковариантная производная, A11 — 4-потенциал, a Fliv — тензор напряжен-ностей внешнего электромагнитного поля, ^ — масса векторной частицы. Варьируя действие, получим уравнения поля
YvUZuv = ^ayti + IeyF^Vv,
(3> § 21. массивное векторное поле
271-
Не все компоненты поля Vll независимы, дифференцируя (3), найдем условие связи
<л •
= (1 -Y) FVWiiv + IeyFiiIVil. (4)
сл
Дуальный бивектор поля Wixv=1I2Eix^Wkx, в отличие от максвел-ловского случая, удовлетворяет неоднородному уравнению
у = IeF^Vv. (5)
Для перехода к описанию векторного поля в формализме Ньюмена—Пенроуза построим самодуальную и антисамодуальную ком-± 1 и
»бинации JFjfv = — (Wiiv ± iW?V). Из уравнений (3) и (5) для іних будем иметь
У = sL Vц + ІЄ [ Fjv + -L (у -1) Fiiv ] VV1 (6)
тде F*vv— самодуальный бивектор внешнего электромагнитного лоля, /^ = (/?*- Заметим, что эта система при у—1 (что имеет место в модели Вайнберга—Салама) более симметрична: в уравнение для самодуального (антисамодуального) бивектора W^v входит тогда лишь самодуальный (антисамодуальный) бивектор электромагнитного поля фона.
Введенные величины Wjrv имеют следующие разложения по ¦базисам самодуальных и антисамодуальных бивекторов:
W% == (Do=Znjfrivj + Of (n[(l/v] + mf^m"]) + Фf Iiil^h (7)
где Zn+H=An11, /л",;= и введены шесть комплексных скаляров <ф±а а = 0, 1, 2 (для вещественного поля Ф~а=(Ф+а)*). Обратный переход от тензора поля к скалярам Ньюмена—Пенроуза осуществляется по формулам
ФІT = WitwZtX; Ф? = -L w±m (IilUv +т^т^у, Фt = W±»vm^nil.
(8)
Проектируя уравнения (5) на векторы изотропной тетрады, лолучим систему уравнений для скаляров (Jji0, аналогичную уравнениям Максвелла с источниками, в роли которых выступает •само поле Vli. Так, для Ф+о будем иметь
(D—2р + ieA,) Of— (Ъ* + л-2а + ieAm.) Ф^ = g,V,-t
(б—2т -f ieAm) Of - (Д + и-2у + іеАп) Фt=gmVm\ 272
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
- (б* + 2я + UAm,) a>t + (D-P + іеА,)Ф? = g„.Vm.', - (Л + 2ц + іеАп) Ф^ + (б -T + 2? + іеАт) Ф^ = gnVn, (9)
|де введены величины
gl;=-L{llz + ielak(4+l)®toa + bk(V-\)®n, k=l,n,m.m\ (10)
фФ°н— единственный отличный от нуля скаляр фонового поля, и постоянные равны Cil=ат= — ат* — —ап = bt = — bm = bm* = — bn = 1.
В формализме первого- порядка в качестве полевых функций можно выбрать скаляры Ф±0 и тетрадные проекции поля Vll. Для замыкания системы уравнений достаточно записать в терминах тетрадных проекций определение (2) бивектора поля:
