Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Q5 = J ^dZil= j /05 V~gd3x. (99)
Для метрики Керра—Ньюмена интеграл от гравитационного вклада в правую часть (98) обращается в нуль после суммирования по углам, интеграл же от первого слагаемого отличен от нуля, если одновременно электрический и магнитный заряды не равны нулю
Sto __gi ft _____ еРО
FiivFwVzzJdtx = -j ImO1V-g(Px =—(100)
Покажем, что это выражение можно получить иначе, вычисляя полный поток кирального заряда при испарении черной дыры-дайона.
Прежде всего заметим, что если магнитный заряд отличен от нуля, то оператор Q (64) имеет (среди прочих) нулевое собственное значение. Рассмотрим для простоты случай невращаю-щейся дыры (а=0). Тогда система угловых уравнений (74) принимает вид
16л2
*z.ePs= -*5'; s'=*s. (ion
2 2
где <elm) и Xs— операторы (7.11) с заменой т-+т=т—еР. Сопоставляя (100) с формулами (Д.4), (Д.5) Дополнения, легко видеть, что решениями системы являются спиновые сферические функции
5 = _L_ePS- S'=__L_ePS.«> (102)
2 Im 2 ,т § 20." массивное поле co спином 1/2 .
265
и собственное значение
~V ('+т)'-(вР)в- (103)
В силу дираковского условия квантования (18.4) произведение еР является целым или полуцелым числом, поэтому существуют такие целые или полуцелые при которых 1=0, именно для eP>0,j=eP— V2 Для еР < 0, j ——еР—Vz- Соответствующие пары угловых функций таковы:
imq> Jrn4, f Q \
Z0 = —prr I Jm , ЄР>0; Z0 = -?- 75.«> , еР<0, (104) /4п \ О J /4 л \ ' /
причем в обоих случаях число т пробегает 21+\=2\,еР\ значений.
Рассмотрим теперь радиальные уравнения (73) при Я, = 0 в безмассовом пределе ц = 0. Легко видеть, что R удовлетворяет уравнению
- -W = -'^** Rf : (105)
дг Ar
a R'— комплексно-сопряженному уравнению, допускающим интегрирование в явном виде:
Я = Я" = ехр|-і| dr)• (106>
Заметим, что при выбранной нормировке |fl] = |fl'| = l. Выписав явно радиальные компоненты векторного и аксиального токов
f = -(ISI2+ ISTMIflI2-ItfT), /^7L-Ufll2+IflTMISl2-IST), (107)
видим, что для решений (106) радиальный поток заряда (векторный ток) равен нулю, в то время как радиальный поток кираль-ного заряда отличен от нуля, если только не происходит компенсации вкладов угловых функций S и S'. Однако в рассматриваемом случае одна из угловых функций обязательно равна нулю и такой компенсации не возникает, причем частицы разных знаков электрического заряда дают вклады разного знака в силу условий (104). Пусть для определенности P > 0. Тогда, переходя к вторично-квантованной теории, основанной на разложении оператора поля (93) (космологическую постоянную здесь для простоты положим равной нулю), для полной потери кирального заряда дыры в единицу времени найдем (k+^ = k+(e= ±\е\))\ 266
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
OO
ехр (fe<+>/T+) + 1 ехр (fe(->/T+) + 1 J
2
(108)
Что в точности совпадает с величиной (100), полученной на основе аномального тождества частичного сохранения аксиального тока /^5. Это неудивительно, так как соответствующая аномалия полностью формируется в однопетлевом приближении, в котором рассчитывается и эффект квантового рождения частиц в поле черной дыры.
Существование «безбарьерных» решений с 1=0 приводит к аномальному увеличению не только скорости испарения черной дыры в данную моду распада, но и к увеличению сечения поглощения длинноволновых фермионов в (KIfg)2 раз — компто-новская длина волны частицы, K^rg). Это явление родственно эффекту монопольного катализа распада протона [316]. В неабе-левой модели (например, SU (5)) черной дыры Ву-Янга будет происходить преимущественный захват u-кварков и преимущественное тепловое испускание й-кварков и позитронов. В результате такая черная дыра, как и регулярный монополь Полякова— т'Хоофта, будет катализировать распад протона. Скорость хокин-говского испарения данной моды для «горячей» черной дыры (шЛІ^СІ означает ш<1С7\ где T — температура испарения) имеет
Квазистационарные состояния
Так же, как и скалярные, дираковские частицы могут находиться в квазистационарных состояниях, локализованных в области классических финитных орбит, отделенной от черной дыры (и космологического горизонта) широким потенциальным барьером при выполнении условия р,Л1<с1. Построим теорию таких состояний, ограничиваясь случаем Л=0. Частица предполагается электрически заряженной, черная дыра может нести как электрический, так и магнитный заряды.
При выполнении условий (в геометрических единицах) \х,М С Cl, ю =? р. уравнение для угловых функций (Д.ЗЗ) сводится к уравнению для спиновых сферических гармоник (Д.9). При еРФО спиновый вес интересующих нас решений угловых уравнений (74) будет равен ± 1/2 — еР (см. (102)), причем таких решений при заданных Inj будет две пары, соответственно положительным и отрицательным значеням
Величину sign к можно использовать в качестве квантового числа, характеризующего сложение орбитального и спинового моментов. Если еР = 0, то справедлива формула (76) и К > 0 отве-
порядок N-M'1.
K=±[j(j+l)-(eP)2y2.
(109) § 20." массивное поле co спином 1/2 .
