Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Фt = (D—p' + UA1) Vm-(б + ieAm) V1; 2Ф^ = (D + р-р* + ieA,) Vn--(Д + (л'-ц-у-у* + ieAn) V1 + (б*—X*—2а + IeAm^Vm-—(б • 2? ! T ! ieAm)Vm<
0t=(V + n-T* + ieAm.)Vn-(A+y-yt+\i' + ieAn)Vm*. (11)
Чтобы , получить аналогичную систему, для антисамодуальной части поля, нужно все операторы и спиновые коэффициенты в (9), (11) "заменить на комплексно сопряженные, оставив без изменения электромагнитные добавки ieA, кроме того, Vm*-* Vm* и в правых частях в (9) е-+—е, у-»-—у. Разделение переменных
Покажем, что система уравнений (9), (11) и дуально сопряженных к ним, описывающих массивное векторное поле в формализме первого порядка, допускает полное разделение переменных для фонового поля Рейсснера—Нордстрема—де Ситтера (с электрическим и магнитным зарядами). Выбирая в соответствии с симметрией задачи моды, зависящие от времени как ехр(—mt+ + ітф), и используя представления для операторов и формулы для спиновых коэффициентов, приведенные в § 18 при а = 0, из системы (9) для зависящих от г и в амплитуд получим
to __ с .
' ^2®o(r2®t)-(V2 r)~^M = 1/2 №-e (iyQ—P)r~2] V1; A (2r)-iit<St+(V2r)-i2t0t= 1/2 [ц2-е (iQ-yP)/-2] Vm;
V __СЛ
T-1PA (M)-(V2 r)-iJ?0Ot = 1/2 [(Л2 + e (iQ-yP) r~2] Vm.-,
Ar-^0+ (г2ФЇ) + У2г~і&ФЇ = №+ e (iyQ-P)^2]Vn. (12)
Выражения (11) для скаляров Ньюмена—Пенроуза при этом будут иметь вид§ 21. массивное векторное поле
273«
<*>t =r-i [So (Wm)-XtVlIV21
2Фі" = SD0Vn + л/2® Ib (г~2Уг) + (]/Гг)-1 (& Vm-Jffyn.);
ф^-=А(2гЗ)-1&(гУот.) + (1/2"г)-1^0У„. (13)»
Аналогичные уравнения для Ф~0 получаются заменой в этих фор-
С/1 сл
мулах операторов .Sfs«-»Jjfs, проекций поля Vm«-» Vm* и е->-
сл сл
—е, у-*-—у в правых частях в (12). Здесь Jjfs и ®„— операторы, определенные формулами (19.10) при а = 0. Разделение угловых и радиальных переменных в этой системе осуществляется с помощью подстановки (S0 = еР, т0 = т — s0): ,
Ф0* = 2r!Sr-1Rv (r)So±,Simo (0); Ф,± = /-Ifljfc (r)SoS,m0 (0);
Ф? = Г-1 Rf (r)s0T lS;m„ (0). V1= 2rRlStSim0; Vn=Ar-1Ans0Sim0; Vm = 2rRmiS;m„;
^m* = 2r Am» S0- lS/m,, (14)
где sSim(0)—спиновые сферические функции (Д.16). Если воспользоваться рекуррентными соотношениями (Д.8), (Д.7) для этих функций, то в каждом из четырнадцати уравнений первого порядка угловая зависимость будет сосредоточена в спиновых сферических функциях одинакового веса, после чего они сокращаются и остается система для радиальных уравнений. Исключая с помощью уравнений (12) (и дуально сопряженных) тетрадные проекции поля Vllt получим две системы из трех уравнений второго порядка для функций Rdla. Для дальнейшего анализа обратимся к наиболее простому случаю нейтрального векторного поля на фоне метрики Шварцшильда.
Квазисвязанные состояния в поле Шварцшильда Система радиальных уравнении второго порядка для R+a^=Ra (при этом R-а = R*a) приобретает симметричный вид:
(SD0^t-U) R0 + V^r-ZR1= 0,
(®о+®о -U) R2 + V^Xr-2R1 = 0,
г3 (SfihI-4SV + ®!Г-*3)оГ— 2U) R1 + 2V2XД-1 (R0 + R2) = 0, (15)
где Х2 = 1(1-И) и введен потенциал U= (X2 + ц2г2)А-1. Для массивного заряженного поля Прока в кулоновском поле, как утверждалось в работе [317], не существует связанных состояний из-за сингулярного поведения радиальных функций в начале координат. В случае черной дыры сингулярность скрыта за горизонтом собы-:274
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
тий и вместо граничных условий в начале координат возникают граничные условия поглощения на горизонте. Можно ожидать, что если эффект поглощения поля черной дырой достаточно мал, то векторные частицы, как и скалярные, будут образовывать вокруг черной дыры квазистационарные.состояния. В работе [309] было показано, что это действительно так, по крайней мере для черных дыр, радиус горизонта событий которых мал по сравнению с комптоновской длиной волны частицы. Ограничиваясь здесь ¦отысканием вещественной части спектра энергий квазисвязанных состояний, рассмотрим систему радиальных уравнеив# (15) при г~^>2М. Нетрудно убедиться в том, что в этой области значений аргумента система (15) имеет решения, выражающиеся через ¦функции Уиттекера Ra = CaWqi p(z); z=2xr, где х=Уц2— со2; q = = (2м2—ц2)М/х (при со < ц), значение параметра р пока не определено. Подстановка Ra в таком виде в уравнения (15) приводит к системе линейных соотношений для коэффициентов Ca, «содержащей параметр w — p2 — X2-1A,
wC0 +V2 IC1 = 0; YYkC1 +wC2 = 0;
%V^C0 + {w—2)C1+VY^C1 = Q. (16)
Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее определитель равен нулю: w(w2 — 2w — 4Х2)=0, откуда находим три линейно-независимых решения: ш = 0, р = / + 1/2, C0 =—C2, Ci = O; да=1±УІ+4Х2= 1±2(/+У2), р = 1+Ч2± 1, C0 = C2 = +[//(/ + + 1)]±1/2Сі/У2, Вводя спиновое квантовое число а, положим р = = /+!/2+ісг, тогда а = 0, ±1 для первого, второго и третьего решений соответственно. Если полностью пренебречь поглощением частиц черной дырой, то в качестве условия квантования можно использовать требование отсутствия растущего решения при z<C 1, что ввиду соотношения (19.39), дает 1I2 +р—q = —пт, где пг = 0, 1, 2,... . Отсюда получаем формулу для уровней 1)