Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Приравнивая далее асимптотические значения вронскианов
w (^(++)+) и W 31(++)), находим следующие соот-
ношения между коэффициентами в (87):
I?13(со—х) — |а|2(ш + х) = |6|2(ш—х) — IyI2 (ш + х) =
= ц (YP-Ctf) = CT-1 [Y«* (ш + х) - ер* (ш —х)] = ц2/2х, (89)
выражающие связь между потоками в промежуточной области и вблизи горизонтов событий. 262
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
Введем в пространстве решений уравнения Дирака скалярное произведение
(?1, Ч>2) = j ФУЧА = J VzirUdH, (90)
где 2 — некоторая пространственно-подобная гиперповерхность, в качестве которой удобно взять гиперповерхность, ортогональную t. Построим базисные функции и i|>(it?' подставляя в (12)
разложения (72) с учетом тождеств (75), используя угловые функции, нормированные согласно (79) и радиальные функции с асимптотиками (87). Умножая их дополнительно на 1/я.У2, получим моды, нормированные условием
ф(+)) = W++K ф(++)) = б («В—a»') 6mm- o^. ; а = (со, т, I}, (91)
где, как и в скалярном случае, нормировочные интегралы вычисляются с учетом лишь падающих волн для каждого из состояний двух типов (широкие волновые пакеты в областях Коши).
Чтобы провести вторичное квантование фермионного поля, необходимо условиться о выборе положительно-частотных мод. Выбор в качестве положительно-частотных тех решений, которые аналитичны в нижней полуплоскости комплексного времени t, ведет к системе операторов рождения и уничтожения a', a "f", b', b "f"; с', c't; d', d't:
?= У Г [6 (k+) W++> о'а + f++'* ^t) + е {k++) + ty^'d't)] Cb
— (92)
и вакууму Бульвара (19.21). Если же в качестве положительно-частотных решений выбрать функции, аналитичные в указанном выше смысле по крускаловой координате U, то, как было объяснено в предыдущем разделе, мы придем к вакуумному состоянию, обобщающему вакуум Унру на случай космологической черной дыры (вакуум Гиббонса—Хокинга). Соответствующее разложение оператора поля будет иметь вид
тк '
+
,о UO л/2"« ч* ¦ -«' (93)
(2 Ch 2
где (2сЬ2^)-1/2 — нормировочный множитель, учитывающий вклад области I1 на рис. 1, величины q+, q++ определены, как в (19.21).
Операторы Ьа описывают рождение частицы и уничтожение § 20." массивное поле co спином 1/2 .
263
античастицы с квантовыми числами а={ш, т, Л,}, уходящих за космологический горизонт, а операторы и da— рождение античастицы и уничтожение частицы, поглощаемых черной дырой (разложение сопряженного оператора ф соответственно содержит
операторы аУ, b, с^ и d). Введенные операторы удовлетворяют стандартным фермиевским соотношениям антикоммутации
К. 4) = {ba, bt)={ca, ct} = {da, ?)=6 («В—о»') б™,. 6ГГ, (94)
(все остальные антикоммутаторы равны нулю).
При переходе ко вторично квантованной теории операторы токов jv, j1*5, T^v следует симметризовать, например
/>=і/2[ф, у^], (95)
а затем подставить разложение (93) и аналогичное разложение для ?. Заметим еще раз, что в отличие от теории поля в пространстве Минковского здесь не следует производить нормального упорядочения, а устранение бесконечных величин типа собственной энергии вакуума необходимо проводить с помощью явной перенормировочной процедуры.
Среднее значение оператора тока в состоянии вакуума Гиб-бонса—Хокинга равно
(GHlj^ GH) = ^ [th 2 q+p (?++)) + th 2 q++j» (?+')], (96)
тХ
где Ztl(Ij)ci)—диагональные компоненты соответствующих билинейных форм от классических решений. При «выключении» космологического горизонта г++—>-оо мы приходим к обычным выражениям, описывающим тепловое распределение фермионов с температурой Т+=х+/2л [275, 305, 306]. В частности, интегрируя выражения для потоков энергии и углового момента, для потерь массы и момента вращения дыры за счет испускания частиц на бесконечность (помимо этого происходит, как и в скалярном случае, заселение квазистационарных состояний [283]) будем иметь
JL (Щ --J-Yf dco l^'2-1612 , (9.7)
dt \ J 1 2п JmJ J ехр (А+/Г+) + 1
тХ о
что отличается от (19.28) заменой планковского распределения на фермиевское. Числитель этого выражения в отличие от (19.28)' не меняет знака для мод k+ < 0, однако и знаменатель при устремлении к нулю температуры дыры остается положительным, что говорит о наличии спонтанной суперрадиации на этих модах. 264
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
Аксиальные аномалии и испарение дайонов
Хорошо известно, что вытекающее из классических уравнений движения равенство (51), выражающее собой частичное сохранение аксиального тока (точное для безмассовых частиц), изменяет свой вид при учете однопетлевых поправок по взаимодействию с калибровочными векторными полями [293—295] (аномалия Адлера) и гравитационным полем [296, 297]. В пределе безмассовых фермионов аномальная дивергенция аксиального тока во внешних электромагнитном и гравитационном полях имеет вид
<98>
т о
где Rvlvu — 1/2 Ru— дуальный тензор кривизны. Если интеграл от правой части по трехмерному пространству не равен нулю, то квантовое рождение частиц в таком поле должно сопровождаться постоянным потоком киральности вследствие несохранения кирального заряда
