Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
267
чает сумме моментов /=/+1/2 (А,=/+1), а Л<0 — разности / = = I—'/г (Л = —/). При отличных от нуля еР аналогичную пару состояний можно различать знаком X.
Обратимся теперь к радиальному уравнению (82). При цЛ1< «С 1 его решения можно построить аналитически, сшивая решения в трех областях: а) r>r+; б) r^>r+ и в) p,r~
~<йг<С|Х|. Если ХФО (считаем величиной порядка или большей единицы), то при ш—р,, p,AfCl эти области перекрываются. В случае скалярного поля сшивание решений проводилось без промежуточной области б), здесь это невозможно из-за дополнительной особенности в радиальном уравнении (82) в точке г = =—ik!\k. Идея построения приближенных решений, справедливых каждое в заданной области, сводится к отысканию такой замены функции, которая приводит к уравнению, содержащему не более трех особых точек; при этом в областях б) и в) получается гипергеометрическое уравнение, а в а) — вырожденное гипергеометрическое уравнение. Начнем с дальней области а), в которую, в частности, попадает и классическая потенциальная яма. После Замены "радиальной функции = ср для <р получаем, как и в скалярном случае, уравнение Уиттекера (49.37), причем параметр q по-прежнему определяется формулой (19.42), а второй параметр функции Уиттекера равен
+ + (ПО)
Итак, в области а) имеем
R = yTWq,P(2r\x\); |к,| =VfI2^2, (111)
что при г I jo I -*-0, согласно (19.38), дает
R~DxrP+x + D2r-p+\ (112)
где Di и D2 — некоторые постоянные. Для получения решения в промежуточной области б) введем комплексную переменную у= = i\x,r/X и, оставляя главные в рассматриваемом интервале члены, представим уравнение (82) в виде
[у (у— 1) o2,%2—д/ду —(1 — 1 /у)} R = 0. (113) Решения (113) выражаются через гипергеометрические функции
R = Ciy^ F (-1/2 +р+ \Х\,-1/2-р+ |?|; l + 2|?j7y)T
+ C2y-^F(-U2-p-\X\, -l/2 + p-\X\-, l-2\X\;«/). Г(Щ
Воспользовавшись формулами Куммера, нетрудно убедиться в том, что при больших \у\ это решение имеет асимптотику (112) 268
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
и, следовательно, сшивается с решением (111). При малых \у\, очевидно, имеем
R ~ p[r\% + , (115)
где D'і и Dr2 — некоторые новые постоянные. Наконец, в области в) удобно использовать переменную х, вводимую соотношением (19.45), и сделать подстановку (19,46). Выбирая в качестве а и ? различные комбинации значений
а= 1/4 ±(Й—1/4), ?= l/4±(tfi+ 1/4), 6 = (г^+ а2) (r+—r_)-',
(116)
получим общее решение в области в) в виде
R=A (т+тГ^^ 1/2+2t'6;-*)+
+ ^ye-172 F(1 + ?;, 1 — 3/2— 2іб; —х). (117)
Поскольку гипергеометрическая функция симметрична по первым двум индексам, выражение (117) не изменяется при замене X-+ —X, т. е. фактически определяется абсолютной величиной Щ. С другой стороны, квазистационарные состояния при цМ<С1, как следует из оценок и вычислений, проведенных в § 19, имеют нерелятивистский характер, поэтому и из (110) с достаточной точностью найдем р= |A.| + VasignX.
Асимптотика (117) при jc»1 совпадает с (115), т. е. это решение сшивается с промежуточным решением (114). Вблизи горизонта (117) является суперпозицией выходящей и входящей волн, причем амплитуда падающей на черную дыру волны (второе слагаемое) в соответствии с общими свойствами решений радиального уравнения (см. (84)) стремится к нулю. Первый член в (117)—волна, выходящая из черной дыры. Условие, определяющее комплексные энергии квазисвязанных состояний, заключается в равенстве A = 0. В результате ошивки (111) и (114) при r|x|< 1, |yj >1, а затем (114) и (117) при |у|<1,*>1 последовательно определяем постоянные Cb C2, А, В. Решение уравнения Л=0 снова ищем в виде (19.44) и в основном приближении получаем кулоновский спектр (19.56). Поправка v будет иметь несколько различный вид в зависимости от знака X:
(X (J1Ai -eQ)[tg (я IXI) th (2я6) + і] X
со со
X П П 1-(26)^-1/2)" х л I 1 1 1 1_(2б)г(*+ IM +1/2)"2
fc=0 fc' = = l § 20." массивное поле co спином 1/2 .
269
х J(цМ -eQY Г (п + IXI,+ 1) Г"1 (п -1XI) Г~2 (1 + і 2Х 1) И-2ІМ- > 1 , Г {п+ JXJ)Г-1 (п— |?|'+ 1)Г~2(2 IXDn1-I2^i
где верхняя строка отвечает X > 0, а нижняя—^<0. Поправка к энергий вычисляется по формуле (19.59) (при еРфО нуЖно заменить V2=—iv) и является комплексной величиной, т. е. Описывает сдвиг и затухание уровней. Сдвиг уровней исчезает при еР = =0, в этом случае формула (118) согласуется с результатами, ^полученными в [308]. В отличие от случая бессриновой частицы мнимая часть энергии не меняет знака при ?+<0, т. е. суперра-диационное возбуждение фермионных уровней, как и следовало ¦ожидать, невозможно. Тепловое заполнение фермионных состояний вокруг черной дыры было рассмотрено в работе :[283].
Нулевые моды
Как было впервые показано Джэкивом и Ребби [244], для регулярного магнитного монополя Полякова—т'Хоофтав пространстве Минковского существуют нетривиальные решения с нулевой 'частотой. Эти решения нормируемы и должны быть включены в полную систему классических мод при вторичном квантовании теории. Поскольку добавление фермнона в состоянии с нулевой энергией Jt состоянию монополя не изменяет полной энергии системы, ее наинизшее энергетическое состояние оказывается вырожденным и ему следует приписать дробное фермионное число (так, чтобы разность фермионных зарядов вырожденных состоя-'ний вакуума равнялась единице).
