Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая, что для таких возмущений
dM = —dJ, (143)
т
с помощью (4.24) находим
IA^IVft (144)
dM _ W _dJ___1__со
dt ~~ т dt ~ 64л fefejfe.i (2Mr+
К такому же результату можно прийти, подставляя (136) в правую часть (4.24) и учитывая, что на горизонте событий [98, 99]
г|?о= — l/2H)02hmm. (145)
В случае электромагнитных возмущений также удобно воспользоваться соотношением (4.24) и, подставляя (5.34) в правую часть, выразить скорость изменения площади поверхности горизонта через скаляр Ньюмена—Пенроуза Ф0:
= IАФ01*dQ. (146)
dt 16 яМ/-+ J
Далее для возмущений с фиксированными {т, со) с помощью (4.24) и (140) найдем
dM to dJ 1
dt т dt 16 пМг+ k
j) IДФ01 2dQ. (147)
При задании граничных условий поглощения на поверхности горизонта (нижний знак в (65) при S= 1, 2) величины A2ifo и Дф0 при г-*-г+ конечны.
Вычисление волновых потоков на пространственной бесконечности не вызывает затруднений. Для расходящихся электромагнитных волн при г —оо Eg- = B-, E- =—?g-, поэтому
ФГ8"'^-^(%-i?f); ФГХ)^ 0. (148)
Подставляя (5.34) в (4.27) с учетом (140), найдем скорость изменения энергии и момента поля за счет потока электромагнитных волн, уходящих на бесконечность:
'О (расх) _ Д^з (расх) dt ~ т dt
ІІШ —(f) I гф?асх) 14Q. (149)
Г-* оо 2п J
Если энергия электромагнитного поля изменяется за счет притока электромагнитных волн из бесконечности, то на основании аналогичных рассуждений найдем 102^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
<«0(сх> _ СО ^S00(CK)
Ф(осх) оо (% +1?~); ф^) сл 0, (150)
что при подстановке в (5.34) и далее в (4.27) дает
* - « -ItaJ^ MTV (їм)
(в обоих случаях вклад от Фі отсутствует). Заметим, что вещественная и мнимая части Ф2 (для расходящихся волн) и Ф0 (для сходящихся) в асимптотической области г->оо пропорциональны амплитудам двух независимых состояний линейной поляризации электромагнитных волн (0 и ф — компоненты).
Аналогичные вычисления для гравитационных волн на пространственной бесконечности осуществляются в рамках линеаризованной теории на фоне метрики Минковского [9, 36]. В терминах ортогональных компонент g-, и /і§-~возмущений метрики для тетрадных проекций тензора Вейля Ifi0 и \|з4 при г->оо имеем в случае расходящихся волн
^РаСХ)- ~ Vopacx) - 0 (152)
(используется дважды поперечная бесследовая калибровка). Для сходящихся волн получим
(153)
Вещественная и мнимая части этих выражений соответствуют состояниям поляризации гравитационных волн, которые принято обозначать символами + и X, поляризационные тензоры для них имеют вид
4=-^-(^-^); ^ = ^=-(^+^/) (154)
в трехмерно-поперечной калибровке, где ее и е" — трехмерные орты вдоль направлений 0 и ф в плоском пространстве. В силу выбора бесследовой калибровки =
Соответствующие потоки энергии и момента, вычисляемые на основе стандартной теории [36] для гармоник с определенными {со, /те), записываются в виде
= Hm-і—(ft И(ГХ)№ (155)
dt т dt Г-*- OO 4пша J
* 0 (сх) Ш а ®3 (CX)
dt т dt
= 1ІШ-Ц({)|п1)Г|г^, (156)
Г-+ со 64л(йг j § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
103;
где фактор 1 /со2 возникает при дифференцировании по t с учетом того, что эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн [36] пропорционален квадрату первых производных от Ziliv, а квадраты величин \|з0 и \|з4оосо4.
Приведенные формулы для потоков энергии и аксиальной компоненты момента импульса' полей через поверхность горизонта событий и бесконечно удаленную сферическую поверхность полезны при решении задач, в которых заданы соответствующие конфигурации полевых возмущений. В других задачах заданы источники возмущений, а сами поля вычисляются с помощью, например, изложенной выше техники. Построенные функции Грина для полевых возмущений (111) позволяют выразить потери энергии и аксиальной компоненты момента импульса непосредственно в виде интегралов, содержащих источники. При этом в соответствии с четырехмерным характером инвариантного интегрирования в (110) естественно возникают выражения для полных потерь
где введен индекс |s| =0, 1, 2 для скалярных, электромагнитных и гравитационных возмущений соответственно, значения индекса А = 0,3 отвечают энергии и проекции момента импульса на ось симметрии. Если источники возмущений локализованы в некоторой компактной области пространства, то вне этой области будем иметь расходящиеся волны (т. е. падающие на черную дыру и уходящие на бесконечность) либо соответствующие регулярные на горизонте и на бесконечности стационарные конфигурации полей, для которых можно использовать асимптотические радиальные функции (63), (65). Вычисление производных под знаком интеграла в (157) проводится далее на основании тех же рассуждений, что и вывод формул (144), (147), (149) (152) (сходящихся волн в такой постановке задачи нет). Явные вычисления будут проведены в § 12.
(157) ГЛАВА III
СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
В этой главе рассматриваются создаваемые внешними источниками в пространстве-времени Керра пробные электромагнитные и гравитационные поля, не зависящие от времени в системе координат Бойера—Линдквиста. Согласно теореме Хокинга [5, 21], вращающаяся черная дыра приходит в стационарное состояние, лишь когда все поля становятся аксиально-симметричными. Однако, если влияние внешних полей на геометрию пространства-времени достаточно мало, его можно учитывать адиабатически, рассматривая в качестве нулевого приближения стационарные поля и не обладающие аксиальной симметрией. В § 9 обсуждаются связанные с воздействием неосесимметричных электромагнитных полей на вращающуюся черную дыру пондемоторные явления. Предварительно строится теория аксиально-симметричных стационарных возмущений методом функций Грина обобщенного уравнения Лапласа.
