Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
О-Лlmup = — 2Wo ' І а%Шар X X j(oAop 1+2р7 Г&/=?>*. (99)
Интегралы в этих выражениях имеют вид скалярных произведений (6.37). Используя определение сопряженных операторов (6.39), можем переписать эти интегралы в виде
1+т1)5(7Л} (1оо>
Левый сомножитель в этом скалярном произведении, как можно« убедиться, сравнивая с (27) и (35), представляет собой возмущение потенциалов моды (/, со, m, р, out), и (100) можно в безындексной форме записать как
( ,л-'(/mo)p; x) • 1+p(~1)VSJ J = (Psл-'(/mcop, *)• SJ),
P= ' + р/ ; (101)
где величина SJ имеет компоненты ^2Jiiv ~ Tvv \ ±1/"=]"; qJ = T/ и учтено соотношение (6.61).
Заметим, что потенциалы ±5я отличаются между собой калибровочным преобразованием, т. е. § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
93;
А - А 4. df 1лц — -1лц + '
дх» '
I^nv = -I^nv + <Pn;v + Фг; H, (102)
где f и ф — некоторые скалярные функции. Учитывая законы сохранения для источников
/% = 0; 7>v;v=0, (103),
нетрудно доказать обращение в нуль интегралов
^ U^VzzI^x = 0; J I^ZIJd4X = 0 (104)
при сделанных предположениях относительно компактности источников (а также гипотезы об их адиабатическом «выключении» при ^->-±оо). Это означает, что скалярные произведения (100) с точностью до нормировки радиальных функций не должны зависеть от знака s. Для согласования нормировки заметим, что функции ±s-nZaP, (±s!%imcop) удовлетворяют соотношениям (42), (43), (54), (55), которым должны подчиняться и левые части (97), (98). «Лишними множителями» в (97), (98) являются обратные вронскианы №±', поэтому должно выполняться равенство
№_s (8лои1 (doi*n> (lmmp, х), SJ) = Ws (-3лои( fdown> (Ітшр, х), SJ) (105) или с учетом (97) и (80), (81)
(sJIout(doWn)(/mcoP) Х)У sJ)= (_sJIout(down)(/mc0pr Х)У sJ). (106}
\ 4QISI J
Необходимо также убедиться в том, что построенные функции ±s&lm*p (97) — (99) удовлетворяют соотношениям симметрии (28) при условии, если (28) имеет место для мод in, up. Это действительно следует из соотношений (Д.21) для угловых функций, формулы (6.59) и предположения, что коэффициенты ys и 6s обладают свойством
уs*(—m, — Cu)8s*(—т, — (D)=Ys(т, со)бs(m, со). (107)
Функции (97) — (99) по построению удовлетворяют уравнениям Тьюкольского в терминах «диагональных» разложений (39), (40) с соответствующими источниками. Далее, в силу (106) и выполнения равенств (42), (43), (54), (55) для in и out решений будут справедливы и «недиагональные» разложения (37), (38). Следовательно, в областях, где плотность источников обращается в нуль, найденные решения полностью описывают возмущения метрики и электромагнитного поля. Далее с помощью радиальных функций (97), (99) строим моды ,Sj^top (27) и затем с помощью (35) находим возмущения потенциалов 5яир. Аналогичные рассуждения: 94^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
можно проделать для области г<гь в этом случае получим скалярное произведение (101) для down-моды и потенциал Дебая для in-моды. После этого следует построить вещественные возмущения, суммируя выражения типа
р—IpI 1 2
— і (,.л (/mcop; х) +- р5л* (/тсор; х)) (108)
по индексам /, т, со, р.
Оставшийся произвол в выборе нормировочных постоянных Vs и бS можно использовать для упрощения записи. Формулы (80), (81) связывают между собой значения вронскианов (97) с противоположными s. Поэтому доопределение постоянных Ys и 6s в радиальных функциях не удается выполнить так, чтобы уничтожить все численные коэффициенты в (97) — (99). Можно, однако, в согласии с (80), (81) фиксировать эти постоянные так, чтобы получить простое выражение для факторизованных функций Грина. К этой цели приводит выбор
—s-f|s|
Ys = 2(3|s|+3s-l)/2(0sQ|s) 2 е.'Ф5) s-|s|
6s = 2<3Is!-s-1)/2 cos(Qfsl) 2 (109)
где фі — некоторая фаза, назначение которой — обеспечить выполнение соотношений между радиальными функциями (28).
Подставляя в (108) радиальные функции (97) — (99) и заменяя в (101) s->—S (что возможно в силу доказанного выше), получим при выборе постоянных (109) следующее выражение для полевых возмущений вне области локализации источника:
J P-IPi
5я(X) =J-I 2 (5я(/mcop; х) + psя*(/mcop; %)) =
со Imp
= x')J{x')V-g{x')d*x'. (110)
В это выражение входит запаздывающая функция Грина
2-S—!?!±?!
sGret (X, х') =2^2 2 [(Р5л'п (/mcop; х) <g>
cd Imp
<g) (P^down* (/mcop; X)) в (г —г') +
+ (Р5явР(/то)р; x))<g>(Psn°ut*(/m(op; х'))в(ґ—г)], (III) где P — проекционный оператор, введенный в (101), величины § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
95;
5яіп(/тсор; х) и др. определяются формулой (35), в которую следует подставить радиальные функции (67), (66), (72) соответствующего типа. При выводе формулы (111) были использованы соотношения (6.60) и (6.61), связывающие комплексно-сопряжен-ные потенциалы Дебая с величинами, возникающими при инверсии координат. Функция Грина является скаляром для s = 0, тензором второго ранга sG[fv для s = ±1 и тензором четвертого ранга sG[fvXt для s = +2. Мы построили ее таким образом, что вне области локализации источника решения (110) для электромагнитных = (х) (s = ± 1) и гравитационных SAliv=Snliv(X) (s = = ±2) возмущений приводят к правильным значениям для калиб-ровочно инвариантных тетрадных проекций тензоров Максвелла и Вейля
