Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Векторы Киллинга и потенциалы
Если в выражении (8.89) для скаляра -іф, описывающего поле точечного заряда на оси симметрии, совершить предельный пере- :118 III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
ход r0-*-Oо, е—>-оо, сохраняя постоянным отношение
-^r= F г = E1 + іВг = const, (1)(
ro
то мы получим конечную величину, соответствующую постоянным и однородным электрическому и магнитному полям, направленным вдоль оси симметрии
= (2), 2/2 V '
Непосредственным интегрированием соотношения (8.61) с учетом равенства (8.10) находим потенциал Дебая
„ PzA sin 6 „
_lS=--_ (3),
Далее с помощью формул (8.79), (8.80), получаем отличные от нуля компоненты комплексного 4-потенциала, генерирующего автодуальный бивектор Fliv,
с4о= FaP. [A cos е + ^a (г—Af) sin" в], (4).
JLs = — аЛй sin2 6 -IFt sin2 6 ((г — М) р'-1 + Д/2). (5).
Можно показать, что эти величины тесно связаны с векторными полями Киллинга пространства-времени Керра. Рассмотрим случай чисто магнитного поля Fz = іВг. Тогда действительные части (4) и (5) равны
Л0 = аВ (1 - ^ (1 + cos2 6)); Л3= -**f* (г2 + а2- 2М"2(1 + 6)).
(6).
В этих выражениях нетрудно узнать линейную комбинацию компонент 1-форм Киллинга |(0 и |(ф):
Л, = ^'+^'), (7),
факт, подмеченный Уолдом [142]. Это неудивительно, так как векторные поля Киллинга удовлетворяют в случае вакуумных метрик тем же уравнениям, что и 4-потенциал свободного электромагнитного поля в калибровке Лоренца (8.81). Действительно, свободные уравнения Максвелла в лоренцевой калибровке имеют вид
Л.^—Ov = O, (8),
с другой стороны, из уравнений Киллинга !^ + ?'? = 0 находим
+ = 0. (9). § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
119
Уравнения (8) и (9), очевидно, совпадают при Rliv=0 [143], таким образом, векторы Киллинга можно рассматривать как 4-потенциа-лы некоторых свободных (бестоковых) максвелловских полей. Заметим, что для нахождения коэффициентов в линейной комбинации (7) можно воспользоваться формулами (2.57), (2.58), выражающими полную массу и заряд черной дыры в виде поверхностных интегралов. Представляя потенциал в виде
= + (10) где а и ? — постоянные, вычислим интеграл
- § Fllv d2?V = 2а (J)^vl dZ^ + 2? (f g[?jvl (11)
Левая часть этого равенства равна 4nQ, где Q — полный электрический заряд системы, а интегралы в правой части пропорциональны массе и угловому моменту черной дыры. В результате получаем уравнение
Q = (4?a—2а) М, (12)
откуда при Q = O находим отношение коэффициентов а и ?, совпадающее с соответствующим отношением в (7). Таким образом, линейная комбинация векторов Киллинга в общем случае генерирует суперпозицию однородного магнитного поля, направленного вдоль оси симметрии черной дыры и кулонова поля [144]:
Л*= -1-5(?,+ 20?) --?- (13)
Вращение черной дыры в однородном магнитном поле, направленном вдоль оси симметрии, приводит, благодаря фарадеевской индукции (см. § 2), к возникновению разности потенциалов между горизонтом событий и бесконечно удаленной точкой. Из выражения (13) видно, что на бесконечности A0 = — (Q—2аМВ)/2М, в то время как электростатический потенциал горизонта (8.87) равен нулю. Таким образом, разность потенциалов
= = (14)
2 M
остается конечной и при отсутствии электрического заряда (Q = O). Заметим, что с помощью калибровочного преобразования
А А — А 1 °
- IaMB > t IM )
(15)
потенциал приводится К кулоновой форме (Л0|г->со = 0). При этом ^3H = (Q—2аМВ)/2М и разность потенциалов (14), разумеется, остается прежней. В кулоновой калибровке потенциал (15) сингу-
лярен на горизонте событий A11A -»-<»,. однако это не при- 120
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
водит к затруднениям, поскольку потенциал не является наблюдаемой величиной. Возникновение разности потенциалов между бесконечностью и горизонтом событий черной дыры, вращающейся в однородном магнитном поле, делает энергетически выгодной аккрецию заряда соответствующего знака [142] при наличии вокруг черной дыры плазмы. Процесс прекратится, когда аккрецирован-ный заряд достигает величины
Q = 2aMB,
(16)
при которой AT=O. Аналогичный эффект имеет место и для проводящей сферы, вращающейся а магнитном поле [158].
Заметим, что ни в одной системе отсчета поле не является чисто магнитным даже при Q=O. Действительно, максвелловский тензор, соответствующий скалярам Ньюмена—Пенроуза поля (6)'
ШВ sine Ap8
2 У2 '
Фп
IB . -Sin
V2
6; Ф2
ІВ
Фх = — P2 [(а2—г2) cos 6 + ia (г— М) (1 + cos2 6)],
(17>
имеет псевдоскалярный инвариант
1 GO
—
HVj
4-
Вга cos 8 S2
Ar sin2 6 +
2aV (г — М) (1 -f- cos8 8)
S
-(г-М)
(г2-2 г (г2
-а2)
-а2)
2г*_ S
1 +
cos U —
2 г2
1
)(l+COS26)]J.
(18>
В локально-лоренцевой системе отсчета он равен скалярному произведению векторов электрического и магнитного полей. Заряженные частицы плазмы, движущиеся вдоль силовых линий магнитного поля, будут втягиваться в дыру или уходить на бесконечность в зависимости от знака инварианта (18). Исследование этого выражения показывает, что для а>0, ?>0 положительно заряженные частицы будут преимущественно аккрецироваться в полярных областях, а отрицательные — в относительно узкой области вокруг экватора [75].
