Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
Исследование не зависящих от времени осесимметричных конфигураций пробных скалярного, электромагнитного и гравитационного полей удается провести, не прибегая к разделению переменных [122—123]. Для таких возмущений уравнение Тьюкольского можно свести к обобщенному уравнению Пуассона в двумерном пространстве [124—126], решения которого строятся в замкнутом виде для всех s. В отдельных случаях удается непосредственно проинтегрировать уравнения Максвелла, так были построены решения для поля точечного заряда на оси симметрии черной дыры [127—132]. С помощью этих решений можно рассчитать силу самодействия, приложенную к точечной частице в сильном гравитационном поле черной дыры [133—137], а также соответствующую поправку к собственной энергии частицы [138—139]. Менее исследовался случай аксиально-симметричных стационарных возмущений гравитационного поля (см., например, [140], где используется метод разделения переменных). Ниже строится общая теория, применимая для безмассовых полей с s = 0, 1, 2.
Соотношение между sip и -sip
Покажем, что для некоторого класса стационарных осесимметричных электромагнитных и гравитационных полей скаляры s\|) и § 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
105
-s\f) связаны между собой соотношением пропорциональности. Рассмотрим сначала систему уравнений Максвелла (5.12) — (5.15) для аксиально-симметричных стационарных полевых конфигураций, полагая производные по і и ф от максвелловских скаляров равными нулю. Вводя новые функции
(I)1 = P-2CD1; Ф2 = —Ф0 = Дрзіп6ф0, (1)
P
представим систему уравнений Максвелла в виде
Crt Crt
LL + (КГр2Д sin 6)-1 = 2яр-Уг; (2)
сл in
К2"(Р2Д sin б)-1 ^S- = 4яА_1P-3 (P')-V„; (3)
dr dQ
И </}
-?- - (/2~р2 sin 6)-1 LL. = _ 2 VTnp-* (Pt)-1Jm-, (4)
дб дт
сп сл
-?- +у2 (P2sin 6)-1 = 2 К2"лр-зут.. (5)
58 дт
Нас будут интересовать поля, создаваемые токами вида
/"={7° (г, 0), 0, 0, Я (г, 0)}, (6)
очевидным образом удовлетворяющими уравнению непрерывности
J& = -f=(J»V=g ).» = <>¦ (7)
У —8
Для тетрадных проекций тока (6) выполняются соотношения
JmP' = - Jm-р; Jn = Арр'/2/„ (8)
поэтому, вычитая уравнение (3) из (2) и (5) из (4), находим, что
сл сл
Ф0 = —2Ф2 +const, причем в согласии с требованием конечности Фо и Ф2 при 0 = 0, я постоянную интегрирования нужно положить равной нулю. В результате имеем
Ар2Ф0 = -2Ф2 (9)
или
-i*=-}i*. (10)
Это соотношение можно также вывести из уравнения Тьюкольского (7.4). Для возмущений, порождаемых источником (6), проекции ±iT тока, входящие в уравнение Тьюкольского, можно полу- :106
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
чить с помощью проекционных операторов вида (6.77), (6.78), опуская в них компоненты ц=1, 2, что эквивалентно следующей замене векторов тетрады:
і л 1 і , 2 1 д ,
1 ->л = — 1 H--n; n v s — ПН--1;
2 А 2 42
(H)
ш jut = -J- (ш— р*р—1IH*).
Учитывая, что на множестве функций, зависящих лишь от г и 0, операторы 3)п и 2)п+ совпадают между собой (то же верно и для Ss и Ss+), получим «укороченные» проекционные операторы
i*'* =--2--I^ =-L (S)0^+ V2 XoP'^)-. (12)
A -S р
Выражаемая этим соотношением связь между ними означает, что
(13)
Понимая всюду далее в этой главе под 3)п и Ss сужения соответствующих операторов на множество функций, зависящих от двух переменных г и 0, можно переписать операторы Тьюкольского в виде
iD - 2)оА + X0X1; -1а = АЗ)1 + Х0Х1, (14)
откуда очевидно соотношение
-ID=A1DA-1. (15)
Учитывая связь (13) между источниками, находим, что с точностью до решений однородных уравнений величины 1 -ф и -Iljj должны быть связаны соотношением (10). Заметим, что для проекционных операторов ±ііИ/, связывающих ±ii|) с 4-потенциалом, также имеет место соотношение
Л1'» =--— ^1M1V- (16)
А
в калибровке потенциалов, при которой отличны от нуля A0 и Л3. Имеется также связь между проекторами
it'" = р Wp-2 (17)
(в этих формулах под 5М/й понимаются операторы, получающиеся из (6.94) л (6.95) с помощью замены (11)).
Аналогичные утверждения можно сделать для не зависящих от времени осесимметричных возмущений метрики, порождаемых распределением материи, описывающимся тензором энергии-импульса с единственными отличными от нуля компонентами Too, Tqz § 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
107
и 7зз, зависящими от т и 0. Такое распределение материи удовлетворяет условию консервативности, если
?^7^ = 0. (18)
В этом случае также можно сделать замену (11) в выражениях для проекционных операторов (6.18), (6.21), в результате чего получим
>х'сф = Д-2_аХ'аР = _р4р. +
+ SD оР'2р-*Х-і) PPe-1NV} + XX0PnP^ +
+ 2®0р-*®0рцуч 2, (19)
и, следовательно,
_27-=Д2/4-27-. (20)
Операторы Тьюкольского (7.1) при S = ±2 переходят в
аП = А-1®-і250Д2 + ^-А; + (21)
н связаны соотношением
-2D = A22DA"2. (22)
Таким образом, с точностью до решений однородных уравнений находим
_2i|)=A2/4-2i|) (23)
или
Д2РЧо = 4і|)4. (24)
Объединяя это соотношение с формулой (10) для электромагнитных возмущений, получаем
