Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
_,Ч>=(—§-)\ф. (25)
Это равенство можно также установить, комбинируя перекрестные соотношения (5.27) и (5.28) для электромагнитного и (6.70) и (6.71) для гравитационного полей с уравнением (7.4). Так, формулу (9) можно получить непосредственно из (2.27), учитывая явный вид операторов Тьюкольского (14). Несколько сложнее доказать (24) исходя из (6.70). Предварительно, воспользовавшись представлением
JZs= (sin6)-*4r (sin0)S (26)
убедимся в справедливости операторного равенства
XoXi = Х%Х—і—2, (27) :108 III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
с помощью которого (6.70) переписывается в виде
(J?-A)2 ,?-2^-^,,^) = 4250^. (28)
Далее, воспользовавшись уравнением (7.4) при S = 2 вне области локализации источника, представим (28) в форме
A-^-xSoAS-iSoA2 ^ + 2Д-125-1250А2 2Н> = 4 So (29)
С помощью формулы (4.41) в первом слагаемом сделаем преобразование
A-^-xSo^S-i^o = A-1SL1A (®i2U) ®о = So - 2А-1®_1250 (ЗО)
(при этом было использовано легко проверяемое тождество
ад-х =S2O- 2Д-1). (31)
После подстановки (30) в (29) происходят сокращения, и мы получаем равенство (23) под знаком оператора К аналогичному результату приводит соотношение (6.71). Функции Грина
Решения уравнения Тьюкольского (7.4) для аксиально-симметричных стационарных возмущений удается построить, не прибегая к разделению переменных. Идея метода состоит в сведении оператора Тьюкольского к оператору Лапласа в пространстве высшей размерности. На множестве функций, зависящих лишь от г и 0, оператор принимает вид
= +2(s+ IHr-M)-^-+(-A.)* + S(I-SCtg2G). (32)
Введем координаты Вейля
z=(r—M)cos0; R = VAsinO (33)
и новую функцию
= (sin 0)^- ,4». (34)
Уравнение Тьюкольского (7.4) в новых переменных будет иметь форму
Jy-Xsin Є)' Д (1+20 ,Ї = — 4яSsT1 (35)
где символом Д(р) обозначен обобщенный оператор Лапласа [125] § 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
109
и / — якобиан преобразования координат
= +(M8-O2)Sin2 б]"1. (37)
д (z, R)
Отыскание возмущений сводится, таким образом, к решению обобщенного уравнения Лапласа
a(1+2S)S?(2, R) = — s7(2, R) (38)
Vi
с источником sj = ^iiZJsT (sin0)~s+1, зависящим от двух переменных z, R. В дальнейшем удобнее иметь дело с оператором Д(р) при положительных значениях индекса р. В случае отрицательных S воспользуемся операторным тождеством
д(1_2|5і)я2і2*' = r2m л(1+21,1), (39)
которое позволяет записать Д(і+2$) в виде
д(1+2.) = д (1+21,1) -rs-lsi. (40)
Построим функцию Грина G|S|(z, R\ z', R'), удовлетворяющую уравнению
A<I+2|S|>G1S|(Z, R; г', R')= R.(1+2|1|)6(R-R')b(z-z'). (41)
Оператор Д(р) (36) можно понимать как сужение оператора Лапласа в евклидовом пространстве р + 2 измерений ... ?р+г} на множество функций, зависящих от двух переменных z = ?p+2,
R=Vl 1 + . . . + ?р+1 . Действительно, вводя в р+2-мерном евклидовом пространстве цилиндрические координаты Zy R и угловые переменные Ol ... Op
Ix = Rcos аь §2 = R sin Oi COS 02,
(42)
?p+2 = R sin Ol sin 02 . •. sin Op, оператор Лапласа в этом пространстве представим в виде
Sp+2 д* д* л- д* -L р д л- 1 Г2
»'=1
где L(p)2 — оператор Лапласа—Бельтрами на единичной сфере в р-мерном пространстве, действующий на переменные си ... ар. Рассмотрим уравнение Пуассона :110
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
р+2
V -yTg(l-l') = -pQp+^+4l-V), (44)
i=i
где через % обозначен вектор {?1...?р+2}. бР+2(|) =6-(5l) 6 (Із) ••-...б(|р+г), Qn — объем единичной сферы в евклидовом пространстве л измерений
Ol--^r- <45>
І)
¦Решением уравнения (44) является «кулоновский» потенциал
1=1
(46>
в чем нетрудно убедиться с помощью теоремы Остроградского— Гаусса.
Перейдем теперь в уравнении (44) к цилиндрическим координатам и проинтегрируем правую и левую части по сферическим углам а/ ... аР' вектора g', учитывая, что элемент объема равен
dP+% = dzR"dR sin"-1 O1 Sinp-2O2 . .. sin O^1Ja1 . .. dap. (47) В результате найдем, что функция
1 ^ Sinp-1Oj ... sin Op—idat... da'pg (|—|'). (48).
pQp+2
удовлетворяет уравнению
(¦А <р> + L<p>) 8= —^6 &-R')6 (49>
Поскольку нас интересует решение этого уравнения, зависящее только от R и г (ср. с (41)), то без ограничения общности можно положить в (48) 7? = Ii, т. е. выбрать ai = 02 =... = ap = 0. Тогда функция 31 в (46) равна
я = [(2-2')2 + R2 + R'2 — 2RR' cos al]1/2 (50>
и интегрирование по a2' ... aP' в (48) дает
Qp=^ Sinp-2O2... sin ap_ida2. . . daPt (51)
после чего остается интеграл вида
я
РЙр+2
О
J^-pSinp-1Mai. (52) § 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
111
Учитывая, что применительно к построенному таким способом решению go второй член в левой части (49) вклада не дает, а также принимая во внимание соотношение
Pp Г(т + 1)__Р, аР+2 _ / р \ 2я
лГ
(і)
(53)
находим для функции Грина уравнения (41) следующее представление:
Gfsi (2' Я; 2', = ~ I 5Г(1+2|s|)(x) (1 — X2)|s|"l/2dx, (54) , —і где X = COSai'.
При z'-*-z, R'^yR, эта функция имеет логарифмическую особенность. Пусть у2 = (z—z')2+ (R—R')2, тогда в интеграле
