Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
l,m,a i»|s| —со |m|<i
Введем далее комплексные моды вакуумных возмущений метрики
Jivn (/mcop; х) == st?v -sHfmco (х) (33>
и электромагнитного 4-потенциала
SAV (lmu,p; х) = -SSfmm (х)г (34>
или, в безындексной форме,
5я (Inmp; х) = _sSfmC0 (х), (35)1
где Snli=S^1, при s = ±l, snvv = sh»v при S = +2 (аналогично для st), от* следует считать равным единице. В силу построения величины 5я являются комплексными решениями вакуумных уравнений Эйнштейна при s = ±2 (в линейном приближении) уравнений Максвелла без источников (при s = ±1) и свободного уравнения Даламбера при s = 0. Вещественные решения с определенной: четностью получаются взятием действительной и мнимой частей потенциалов (6.43) и (6.87;) для s = ±2 и s= ±1 соответственно. Обозначая символом SM оператор SM„V при s = ±2 (см. (6.26) и (6.27) и оператор SMV при s = ±1 (см. (6.80) и (6.81)) и используя точку для обозначения операции свертывания по индексам, например [М-іл=іЛ1йілй, можем записать выражения для в. общем виде:
р-|р|
S-Ifp (х) = — і 2 s'M • (5я (/mcop; х) + р 5я* (Zmco/j; х)), | s | = | s' |, Ima (36)
где фазовый множитель учитывает появление мнимой единицы при взятии мнимой части {р = — 1).
Покажем, что угловая часть выражения под знаком суммы в (36) действительно сводится к спиновым сфероидальным функциям независимо от выбора s и s'. Для «диагонального» случая s'=s=±2 в (36) это следует непосредственно из определения (27) и операторных соотношений (6.67), (6.68).
Р-ІРІ
г^ (X) =-LJ^i 2 (37).
Ima 84^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
Р-ІРІ
-2^" W = -L-^t 2 Д2 {9Z)ty A2 (л) ^2ZL (6, ф) e-iat. (38)
Ima
Для «недиагональных» выражений s = —s' = ±2 имеются вклады от второго слагаемого в (36), и для приведения к однородной форме необходимо воспользоваться соотношениями (28) для радиальных функций и (Д.21) для угловых. Воспользовавшись операторными равенствами (6.70) и формулами (Д.22), (Д.23) для угловых функций с противоположными s, получим
P-IPl
tf (X) = -L Ji 2 Cplma А, (OA(0, ф) е-ш, (39)
2ты
р-ірі
_2^(X) = -LJt 2 cfma^La(r)-2zL(b,<f)e-iat, (40)
Ima
где введена постоянная
Cfma = ?L + P (- 1)' 12гсйМ (41)
(гС — коэффициент в формулах, связывающих ±SZ между собой (Д.26)). Сравнивая разложения (37) с (39) и (38) с (40), находим связь между радиальными функциями с противоположными значениями индекса
So -2%тар =-у CpIma Лі тар, (42)
A2 A2 map = 4ССа -2%lmap- (43)
Эти соотношения аналогичны полученным в [89, 109]. Можно показать, что последние вытекают из (42), (43) при определенном выборе линейной комбинации решений (38) и (37) с различной четностью. Положим
lRlma — 2%/тм(+) + <г,51іта (со)(—), (44)
С*+) С*
-2 R1 та — 7— —2^ilma(+) H ; — 2jtlma(—)> (45)
с с, '
^lma
где величина С совпадает с введенной в [89]:
С = 2С + \2тМ. (46)
Учитывая легко проверяемое соотношение
^lmL С* С С<+> '
^lma § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 85;
из формул (42) и (43І) имеем
2>t ^2Rlma= -L2Rlmat (48)
4
A2 (So")4 A\Rlma = 4С* ^2Rlma. (49)
Следует отметить, что эти соотношения между радиальными функциями относятся к возмущениям метрики, не имеющим определенной четности. Существует другая пара комбинаций решений с определенными р, для которой выполняются соотношения (48) и (49) с заменой С-«-»-С*. Это вытекает из инвариантности пропорции (47) относительно такой замены.
Случай электромагнитных возмущений (s = ±l) проще, поскольку соотношение между И -Ilf является линейным и не содержит комплексно-сопряженных величин. Подставляя (34) в (36) и учитывая операторные тождества (6.90), найдем для диагонального случая s=s'= ±1:
Р-ІРІ
Ж W = 2 І 2 - Mlmсор (0 1ZL (0. Ф) ^ . (50)
Ima Р-ІРІ
= 2 д (2+)2Д v%map {x)_lZfm (6> (51)
Ima
Недиагональные выражения (36) с s=>—s' = ±l также не содержат вклада от второго (комплексно-сопряженного) слагаемого в (36), и с помощью формул (Д.22), (Д.23) находим
р-1р1
Ж W = Y S1' 2 (52)
Ima
P-IPl
-іфр(р)=А Jji 2 Ma-Mlnuap(T) ^zLQt ч)е~ш. (53)
Іта
Из сопоставления (50) с (32) и (51) с (53) получаем
2>1 — іЛImap=-—- Imapt (^)
A (®tf A x5hmap = ^1CJm - 1&1тар, (55)
куда в отличие от (42), (43) входят одинаковые константы пропорциональности iCjm, являющиеся вещественными (см. (Д.25)). Поэтому стандартные соотношения [89, 109] между радиальными функциями, входящими в разложения Ф0 и Ф2, совпадают с (54) 86^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
и (55) и выполняются для мод определенной четности в отдельности. Это неудивительно, поскольку соотношения (54), (5?) следуют непосредственно из формул (5.27) и (5.28), линейно связывающих Фо и Ф2 между собой.
Решения однородного радиального уравнения Обратимся к построению решений однородного уравнения для радиальных функций (22). Переходя к черепашьей координате г* и новой функции
sXim«>=(r* + a?)1/* A^sRtma, (56)
Ь S^ С) SXZml0 = O, (57)
получим уравнение
^s Xlma
dr*
где «эффективный потенциал» равен
