Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Возмущения при наличии источников
Перейдем к построению возмущений скалярного и электромагнитного полей и метрики пространства-времени при наличии внешних источников. Если для полного описания вакуумных (бестоковых) возмущений достаточно построить потенциалы Дебая, с помощью которых легко восстанавливаются как потенциалы (A", Ativ), так и полевые величины то при наличии источников полное решение уже нельзя построить таким образом, что очевидно уже из подсчета степеней свободы поля (с. 69).
Однако если источники сосредоточены в компактной области пространства, то удается отыскать возмущения, генерируемые источниками вне этой области, т. е. там, где возмущения по-преж-нему являются вакуумными (бестоковыми).
Исходя из неоднородного уравнения Тьюкольского (4), можно построить уравнение для радиальной части потенциалов Дебая с источниками. Для этого достаточно воспользоваться «недиагональными» формулами (39), (40), (52), (53) для величин выражающими их непосредственно через радиальные части соответствующих потенциалов Дебая. Подставляя (39) и (40) в (4) и записывая источник ST в виде аналогичного разложения 90^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
I sTlmaP(r)sZlme(85).
7І „-Ш S1 Imap \')s*
Imap
для радиальных функций ±2^imap имеем уравнение
(±іЖта±1 ^lmy)±2<Mimap =—32 лБі I „ , 1 ±2T[nzap. (86)
ІРІ—P (irP
Ima )
{Cima )
Аналогичное уравнение для случая электромагнитных возмущений получим в результате подстановки разложений (52), (53) в (4)
1р1-р
(± та — ±Amv)±l ^lmap= ~ ІблБї 2 (Avm)- ±i Tlmap- (87)
Величины sTlmap (г) отвечают разложению проекций источников с определенной четностью
S^Imap О") =
р/^SinOd6^^(0,9)^(^) -1+P(2'1)S7 (;Г)Л88>
—со
где 7 — оператор инверсии (множитель (—l)s добавлен в соответствии с (6.61)). Для получения полного потенциала Дебая возмущения с данной четностью необходимо просуммировать по индексам /mco. В случае скалярного поля уравнение аналогичного вида непосредственно определяет четные и нечетные возмущения поля (мы сохраним обозначения, принятые для потенциалов Дебая при S=^O, и для S = 0):
(о3^/пш o^lmy) OeHllmap= 4я20Тгто)р. (89)
Переходя к функции sXimap, согласно (56) и черепашьей координате г* запишем (86), (87) и (89) в единой форме
4 Xlmap у _
, > s* sXlmap— sllmapt Wu'
где источник получается умножением правых частей (86), (87) и (89) на величину
Al+s/2(r2+a2)-3/2 (Q1)
Решение уравнения (90) строится методом вариации постоянных с помощью двух независимых решений однородного уравнения с подходящими граничными условиями. Физическое (запаздывающее) решение уравнения Тьюкольского получим, если выберем в качестве таких решений xin и хир (66) и (67), первое из которых § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
91;
регулярно на горизонте, а второе — на пространственной бесконечности
г
sbmap = [5ХиРшр (Г) j SXjJJtcop (П Jlmap (Ґ) dr*' +
+ sXlLp (0 J SXlmPcop (О siImap (П dr"] , (92)
г
где Ws — вронскиан:
W7s sXimap sX-lmap s%imap s^tmaP' (^3)
Подставляя сюда явные выражения для решений in и up, получим
Ws = І-TT ь,Ys- (94)
Iwl
Произведение постоянных 8sys остается пока неопределенным, и конкретный выбор можно сделать так, чтобы получить более простое выражение для функций Грина в терминах потенциалов. Заметим, что, хотя формула (92) справедлива всюду, включая и область локализации источника ST, нельзя утверждать, что потенциалы Дебая с радиальной функцией (92) будут давать правильные выражения для возмущений метрики и 4-потенциала электромагнитного поля всюду. Однако если функции sTimaP{r) имеют компактный носитель, например
supp (sTlmap (г)) сг Jr1, r2] V /, т, со, р, (95)
где /+Cr1 <гг, то в областях r<rt и г>г2 с помощью (92) можно восстановить полностью искомые возмущения потенциалов Awv, Лц, поскольку в этих областях возмущения подчиняются уравнениям без источников. Для этой цели удобно построить так называемые факторизованные функции Грина [113], идея которых восходит к работам [94, 98].
Факторизованные функции Грина
Прежде всего необходимо выразить потенциалы Дебая, отвечающие'решениям (92) в терминах «неспроектированных» источников Tliv и /„. Будем предполагать, что эти функции локализованы в компактной пространственной области (95). Тогда вместо (92) можно написать решения вне этой области в виде
со
Sllmap=W-1 J IsXZap (Г) Acop (О 6 (г—Га) + + SXtetop (г) SKSLp (П O К-г)] Jlmap (Ґ) dr'. (96) 92^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
Далее подставляем источники, стоящие в правых частях (81), (87) с учетом фактора (91), и используем явное выражение для sT 1т»р. Затем вместо stpmap{r') и sXZap вводим согласно (72) -sX°^„p(r') и -s%(d°„p*> после чего возвращаемся к исходным радиальным функциям с учетом соотношения (56). В результате в области г>г2, например, имеем
IPl-P /і/Cf \ =^mcop= - і 2 7 ±,%Zap X
V1 /wmco /
X j (,Ap ±Ae--<)*±2V 1+2pT 7VV V^g d*x, (97)
IPl-P
±іЗІітар~ —8B7±i І (lCjm) ±уЗІІтшр X X (98)
ірі-р
