Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
.1» I
sinp 1Ctda
Iyi + 2RR' (1 — cos а)]р/2 о
особенность при у = O формируется в области малых а. Полагая skia—а, при у-+О с логарифмической точностью найдем
* ap—1da _ Iny (55)
J (у2+ RR' а2)р'2 (RR')P/2
о
Итак, в окрестности особой точки у=O
1+2 |s|
G,„ ^s---(RR') 2 ln[(2—2-)^ + (^-і?')2]1/2 , (56)
Iii
откуда вновь получаем (41).
Записывая решение уравнения (38) с помощью построенной функции Грина и возвращаясь к переменным г, 0, получаем
sij)= 4я JG|s| (z, z'\ R, R')Z' SinQ^T' (RRr)MdW dr', (57)
где штрихи означают, что соответствующие величины берутся в точках г', 0'. Построение соответствующих возмущений полей Av. и Zzjiv осуществляется с помощью техники потенциалов Дебая аналогично § 6, однако не прибегая к разделению переменных. Потенциалы Дебая и возмущения полей
Комплексные потенциалы и hв лоренцевой калибровке (JL^V—g),?= 0, (IilivV-g ),v = D можно построить, применяя :112
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
изложенный в § 6 метод к укороченным операторам (12), (19):
S^11= s^-sS, s=±!; .AiiV = «T?v-,S, S= ±2. (58)
Явные выражения для операторов st' следуют из формул (6.64) и (6.88) в результате замены (11) векторов тетрады. Учитывая, что полевые функции с Противоположными S связаны простым соотношением (25), достаточно ограничиться S = 1, 2:
!Та* = - (Р*)-ЧР/К2\^1 + Ца%] P*; (59)
= - [ V2 X^w ( Xi -^7 <00 + 250^r А) +
+ Y Tr ^2 + 2 Tr'®]р'3* (60)
Дальнейшая задача состоит в отыскании потенциалов Дебая sS в области вне локализации источников по известным полевым функциям srJ), найденным с помощью (57). Здесь не следует использовать разложения по сфероидальным функциям. Вместо этого, воспользовавшись формулами (5.36) и (6.72), запишем
-іФ=1/4і?оі?і-іЗ; (61)
'-,? = 1/8^-^0^1^1-.3. (62)
Учитывая явный вид операторов 2% (26), имеем
-I^ = X0B-j^ ^0Sinews = ^-sine (-l-j'sine^B; (63)
4 sino 2 \dcos0/
—г^Ф = -7- sin Є oe -L- дв -L- дв -1— двsin2 6_2В = 8 sin 0 sin 0 sin 0
sin* 0
4
Обращение этих формул дает
(-A-)4 Sin2 е_2а. (64)
\ dcos 0/
-iS - 4^7^0-1 + -j?, (65)
-,S = 8ХҐ XT1 X7l XZ11 + -2S, (66>
где введены обратные операторы
е 9'
XT1XV1 ... = —!— fdo'sin 6' Г de*..., (67)
sin0 J J § 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
113
в 9' 9" 9"'
= —— Csin в'йЮ' CsinO"^" Г sin0"'d0"' Г ---d0"" . .. (68V
sin2 Є J J J J sin 6"*' v '
При интегрировании появляются неопределенные функции радиальной координаты г, которые следует выбрать так, чтобы построенные потенциалы Дебая SE правильно воспроизводили скаляры.
а также соответствовали граничным условиям для искомых полей A11 и /i„v. Если первые слагаемые в (65), (66) приводят к правильным решениям для то этот произвол переносится на
сл
функции sE, последние также не должны изменять и|>, откуда следуют условия
X0X1-^ = O, (69>
®o-iS = 0 (70).
для электромагнитного поля (последнее вытекает из (1U) и-(5.35)), и
v)
o«S?i.S?2 —2й = 0, (71)'
®o-2S = 0 (72),
для гравитационного. В последнем случае имеются также условия
сл
на _2Е, которые должны обеспечить физические значения вейлевских скаляров Ifl1 И -фз. С физической точки зрения произвол в выборе потенциалов Дебая связан с возможностью изменения параметров черной дыры (заряда, массы и углового момента), что сказывается на величинах Фь ?2, однако не изменяет ±i\|), ±2г|з. Таким образом, при минимальном определении обратных операторов.
сл
в указанном выше смысле добавки SE призваны учесть возможное-малое изменение параметров черной дыры.
Рассмотрим в качестве примера случай электромагнитных возмущений, которые полностью описываются тремя скалярами.
сл
Фо, Ф2, Фь В силу (69), (70) потенциал Дебая -iE дает нулевые Фо и Ф2, однако величина Фь вообще говоря, отлична от нуля. Это соответствует возможности сообщения черной дыре (малых) электрического Q и магнитного P зарядов
фі=__(0(73). сл
Из уравнения (69) следует, что _іЕ можно представить в виде
S = q (г) ctg 6 + 4?- (74).
sin 0 :114
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
Поскольку 3)0 = дг, уравнение (70) означает, что q (г) и р(г) являются линейными функциями
q(r)=qu+qxr,
p(r)=Po + Pir. (75)
Подставляя (74) в формулу (5.37), для Фі получим
O1= P2, (76)
при этом постоянные q\ и р0 остаются неопределенными. Сопоставляя (76) с (73), для двух (комплексных) постоянных q0 и pi находим
Qo —"jPi
p=_(Q + iP). . (77)
Обратимся теперь к вычислению компонент 4-потенциала (57). Прежде всего отметим, что потенциал Stll, как следует из (59), .имеет лишь две отличные от нуля компоненты
Oill= (JL0, О, О, (A3); (78)
JL0=--1=-S- (X1 + iasin6®o)P'-iS; (79)
у2 р
JLt = + (a sin Q X1 +і (г2 + а2) 3)0) P^1E. (80)
Поскольку ^0 И Stз являются функциями только г и 0, потенциал (78) в метрике Керра удовлетворяет калибровочному условию Лоренца
,Al, = _U (Л* у-g) — о. (81)
VS
Потенциал в рассматриваемой калибровке отличается от ^in (5.43) — (5.45) градиентным преобразованием
